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Version 114.17 von Rüdger Hölzel am 2026/07/07 10:35
Verstecke letzte Bearbeiter
Holger Engels 1.1 1 {{seiteninhalt/}}
2
Martina Wagner 66.1 3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen.
Holger Engels 109.1 4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen.
Martina Wagner 66.1 5 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide mit Grundfläche in Koordinatenebene) berechnen.
Holger Engels 109.1 6 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide) berechnen.
Anna Kukin 2.1 7
Martin Rathgeb 69.1 8 == Abstände ==
9
Martina Wagner 65.1 10 {{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" zeit="10"}}
Martin Rathgeb 33.1 11 Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
Martin Rathgeb 32.1 12
13 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 39.1 14 1. (((
15 Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
Martin Rathgeb 33.1 16 )))
Martin Rathgeb 39.1 17 1. (((
18 Zeichne die Punkte {{formula}}P{{/formula}}, {{formula}}Q{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}.
19
20 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
Martin Rathgeb 33.1 21 )))
Martin Rathgeb 39.1 22 1. (((
23 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist wie {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
24 )))
25 1. (((
Martin Rathgeb 44.1 26 Ein Mitschüler behauptet: „Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
Martin Rathgeb 33.1 27
Martin Rathgeb 39.1 28 Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
Martin Rathgeb 33.1 29 )))
Martin Rathgeb 31.1 30 {{/aufgabe}}
31
Martina Wagner 65.1 32 {{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="8"}}
Martin Rathgeb 46.1 33 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene {{formula}}Z:\ z=0{{/formula}}.
Martin Rathgeb 38.1 34
35 (%class=abc%)
36 1. (((
Martin Rathgeb 39.1 37 Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Z){{/formula}}.
Martin Rathgeb 38.1 38 )))
39 1. (((
Martin Rathgeb 39.1 40 Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
Martin Rathgeb 38.1 41
Martin Rathgeb 39.1 42 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
Martin Rathgeb 38.1 43 )))
44 1. (((
Martin Rathgeb 39.1 45 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}Z{{/formula}} doppelt so groß ist.
Martin Rathgeb 38.1 46 )))
47 {{/aufgabe}}
48
Martina Wagner 65.1 49 {{aufgabe id="Lotfußpunkt auf Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
Martin Rathgeb 41.1 50 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
51
52 {{formula}}
Martin Rathgeb 42.1 53 g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
Martin Rathgeb 41.1 54 {{/formula}}
55
56 (%class=abc%)
57 1. (((
Martin Rathgeb 42.1 58 Gib einen allgemeinen Punkt {{formula}}G_r{{/formula}} der Geraden {{formula}}g{{/formula}} in Koordinaten an.
Martin Rathgeb 41.1 59 )))
60 1. (((
Martin Rathgeb 42.1 61 Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PG_r}{{/formula}}.
Martin Rathgeb 41.1 62 )))
63 1. (((
Martin Rathgeb 49.1 64 Berechne dasjenige {{formula}}r_0{{/formula}}, für das der Vektor {{formula}}\overrightarrow{PG_{r_0}}{{/formula}} senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden {{formula}}g{{/formula}} steht, und erläutere, weshalb dafür gilt: {{formula}}d(P;G_{r_0})=d(P;g){{/formula}}.
Martin Rathgeb 41.1 65 )))
66 {{/aufgabe}}
67
Rüdger Hölzel 114.4 68 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (1)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="15"}}
Clemens Baur 97.1 69
70 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
Rüdger Hölzel 114.1 71
72 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
73
74 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
75
Rüdger Hölzel 114.9 76 Beschreiben Sie in eigenen Worten den für die Lösungsmöglichkeit "Hilfsebene" dargestellten Rechenweg.
Clemens Baur 92.1 77
Rüdger Hölzel 114.10 78 [[image:Moeglichkeit_1.png||width="250"]][[image:Rechenweg_1.png||width="350"]]
Rüdger Hölzel 112.1 79 {{/aufgabe}}
Rüdger Hölzel 114.1 80
Rüdger Hölzel 114.4 81 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (2)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="15"}}
Rüdger Hölzel 110.1 82 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
83
Rüdger Hölzel 114.1 84 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
85
86 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
87
Rüdger Hölzel 114.9 88 Dokumentieren Sie den Rechenweg zur Lösungsmöglichkeit "Extremwertaufgabe".
Rüdger Hölzel 110.1 89
Rüdger Hölzel 114.13 90 [[image:Moeglichkeit_2.png||width="450" style="float: left"]]
Rüdger Hölzel 114.8 91 Verbindungsvektor {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} in Abhängigkeit des Parameters {{formula}}t{{/formula}} bilden. Betrag von {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} bestimmen. Dieser Term beschreibt den Abstand {{formula}}d{{/formula}} in Abhängigkeit des Parameters {{formula}}t{{/formula}}. Das Minimum von {{formula}}d(t){{/formula}} soll bestimmt werden. Hierzu betrachtet man den Term unter der Wurzel ({{formula}}f(t){{/formula}}). Mit Hilfe der Differenzialrechnung das lokale Minimum von {{formula}}f{{/formula}} berechnen (Da das Schaubild von {{formula}}f{{/formula}} eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist dies auch das globale Minimum. Die Minimumstelle in {{formula}}d(t){{/formula}} einsetzen. Das Ergebnis ist der gesuchte Abstand.
Rüdger Hölzel 114.1 92 {{/aufgabe}}
93
Rüdger Hölzel 114.4 94 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (3)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="15"}}
Rüdger Hölzel 114.17 95 [[image:Moeglichkeit_3.png||width="250" style="float: right"]]
Rüdger Hölzel 110.1 96 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
Rüdger Hölzel 114.15 97 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
Rüdger Hölzel 110.1 98
Rüdger Hölzel 114.15 99 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
Rüdger Hölzel 110.1 100
Rüdger Hölzel 114.12 101 Erstellen Sie für die Lösungsmöglichkeit "Orthogonalität" den Rechenweg und beschreiben Sie die einzelnen Schritte.
Rüdger Hölzel 112.1 102 {{/aufgabe}}
Rüdger Hölzel 114.1 103
Rüdger Hölzel 114.4 104 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (4)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="15"}}
Rüdger Hölzel 110.1 105
106 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
107
108 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
109
110 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
111
112 Erläutern Sie welche Idee hinter Lösungsweg 4 steckt.
113
114
Clemens Baur 106.1 115 ||Lösungsmöglichkeit 4: Höhe eines Parallelogramms
116 [[image:Moeglichkeit_4.png||width="250"]]||
Rüdger Hölzel 114.1 117 {{/aufgabe}}
118
Rüdger Hölzel 114.4 119 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (ges.)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="15"}}
Rüdger Hölzel 110.1 120
121 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
Clemens Baur 92.1 122
Rüdger Hölzel 110.1 123 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
124
125 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
Clemens Baur 92.1 126
Rüdger Hölzel 110.1 127 Vergleiche die obigen 4 Lösungsmöglichkeiten und erläutere die Unterschiede (Vor- und Nachteile) der jeweiligen Lösungsideen.
128
129 ||Lösungsmöglichkeit 1: Hilfsebene ||Lösungsmöglichkeit 2: Extremwertaufgabe
130 [[image:Moeglichkeit_1.png||width="250"]]||[[image:Moeglichkeit_2.png||width="250"]]
131 ||Lösungsmöglichkeit 3: Orthogonalität ||Lösungsmöglichkeit 4: Höhe eines Parallelogramms
132 [[image:Moeglichkeit_3.png||width="250"]]|| [[image:Moeglichkeit_4.png||width="250"]]||
Ansgar Wasmer-Rehberg 91.1 133 {{/aufgabe}}
134
Martina Wagner 65.1 135 {{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
Martin Rathgeb 39.1 136 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
137
138 {{formula}}
139 g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
140 {{/formula}}
141
142 (%class=abc%)
143 1. (((
144 Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;g){{/formula}}.
145 )))
146 1. (((
147 Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}}, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
148
149 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
150 )))
151 1. (((
152 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}g{{/formula}} doppelt so groß ist.
153 )))
154 {{/aufgabe}}
155
Martin Rathgeb 70.1 156 {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="15"}}
Martin Rathgeb 14.1 157 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
Martin Rathgeb 10.1 158
Martin Rathgeb 11.1 159 {{formula}}
160 d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
161 {{/formula}}
162
Martin Rathgeb 10.1 163 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 11.1 164 1. (((
Martin Rathgeb 25.1 165 Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
Martin Rathgeb 10.1 166 )))
Martin Rathgeb 11.1 167 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 168 Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 10.1 169 )))
Martin Rathgeb 11.1 170 1. (((
171 Untersuche die Gleichheitsfälle:
172
173 * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
174 * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
175
Martin Rathgeb 10.1 176 Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
177 )))
Martin Rathgeb 11.1 178 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 179 Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
Martin Rathgeb 11.1 180 )))
181 1. (((
Martin Rathgeb 23.1 182 Erläutere folgende Aussage geometrisch:
Martin Rathgeb 11.1 183
Martin Rathgeb 10.1 184 {{formula}}
185 M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
186 {{/formula}}
Martin Rathgeb 11.1 187 )))
Martin Rathgeb 10.1 188 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 13.1 189
Martin Rathgeb 70.1 190 {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="20"}}
Martin Rathgeb 13.1 191 Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
192
Martin Rathgeb 64.1 193 Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
Martin Rathgeb 13.1 194
195 (%class=abc%)
196 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 197 Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
Martin Rathgeb 13.1 198 * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
199 * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
200 * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
201 )))
202 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 203 Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 13.1 204 )))
205 1. (((
206 Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
207 Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
208 )))
209 1. (((
210 Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
211 )))
212 1. (((
213 Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
214
Martin Rathgeb 19.1 215 Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
Martin Rathgeb 13.1 216 1. (((
217 Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
218
219 Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
220 )))
221 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 14.1 222
Martin Rathgeb 70.1 223 {{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="15"}}
Martin Rathgeb 21.1 224 **Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
Martin Rathgeb 16.1 225
Martin Rathgeb 19.1 226 Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
Martin Rathgeb 16.1 227
228 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 28.1 229 1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
Martin Rathgeb 16.1 230 )))
Martin Rathgeb 21.1 231 1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
Martin Rathgeb 16.1 232 )))
Martin Rathgeb 28.1 233 1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
Martin Rathgeb 16.1 234 )))
Martin Rathgeb 29.1 235 1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
Martin Rathgeb 16.1 236 )))
Martin Rathgeb 28.1 237 1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
Martin Rathgeb 16.1 238 )))
239 {{/aufgabe}}
Dirk Tebbe 38.2 240
Martin Rathgeb 70.1 241 {{aufgabe id="Sonnenegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden Württemberg: berufliche Gymnasium, Abitur 2023 Teil 4 Vektorgeometrie" niveau="e" zeit="25"}}
Dirk Tebbe 39.3 242 Die Punkte {{formula}}A(2|2|4){{/formula}}, {{formula}}B(3|2|2){{/formula}} und {{formula}}C(4|5|3){{/formula}} sind die Eckpunkte eines über dem Boden ({{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.
243 Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}; 0 \le t \le 1{{/formula}}, beschreiben lässt.
244 Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
245 (%class=abc%)
Dirk Tebbe 38.2 246
Dirk Tebbe 39.3 247 1. (((Geben Sie die Länge des Pfosten an.
248 )))
249 1. (((Zeigen Sie, dass das Sonnensegel in der Ebene mit der Gleichung {{formula}}2x_1-x_2+x_3=6{{/formula}} liegt.
Dirk Tebbe 40.1 250 Bestimmen Sie den Abstand des Sonnensegels zum Boden.
Dirk Tebbe 39.3 251 )))
252 1. (((Der Punkt C ist mit einem Seil an dem Pfosten befestigt. Beurteilen Sie, ob ein Seil der Länge 1,85 m dafür ausreichend ist.
253 )))
254 {{/aufgabe}}
Dirk Tebbe 38.2 255
Martin Rathgeb 70.1 256 {{aufgabe id="Dreiecksflächen" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Dirk Tebbe, Martin Rathgeb nach BW BG, Abitur 2025 Aufgabe 5 Vektorgeometrie" niveau="e" zeit="15"}}
Martin Rathgeb 56.1 257 Gegeben ist die Ebene {{formula}}E: 2x_1 − x_2 + 2x_3 = 4{{/formula}}. Ihre Spurpunkte bilden das Dreieck {{formula}}ABC{{/formula}}.
258
259 (%class=abc%)
260 1. Zeige, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
Dirk Tebbe 56.2 261 1. Berechne den Umfang und die Fläche des Dreiecks.
Martin Rathgeb 56.1 262 1. Ermitte die Gleichung einer Geraden, die dieses Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt zerlegt.
Martin Rathgeb 55.1 263 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 51.1 264
Martin Rathgeb 70.1 265 {{aufgabe id="Spiegelung an Punkt" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="16"}}
Martin Rathgeb 60.1 266 Gegeben sind die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}}, {{formula}}C{{/formula}} sowie ein Punkt {{formula}}S{{/formula}}. Untersuche die Spiegelung von {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}g=g(A;B){{/formula}} und {{formula}}E=\text{E}(A;B;C){{/formula}} an {{formula}}S{{/formula}} unter folgenden Aspekten.
Martin Rathgeb 55.1 267
Martin Rathgeb 51.1 268 (%class=abc%)
269 1. (((
Martin Rathgeb 58.1 270 Fertige eine Skizze der Situation an und bezeichne die Spiegelbilder mit {{formula}}A'{{/formula}}, {{formula}}g'{{/formula}} und {{formula}}E'{{/formula}}.
271 )))
272 1. (((
Martin Rathgeb 60.1 273 Beschreibe die Lage der Spiegelbilder. Verwende dafür z.B. die Stichworte: Mittelpunkt, Gerade durch zwei Punkte, Ebene durch drei Punkte, Parallelität.
Martin Rathgeb 51.1 274 )))
275 1. (((
Martin Rathgeb 58.1 276 Stelle die Spiegelbilder algebraisch dar:
Martin Rathgeb 55.1 277
Martin Rathgeb 61.1 278 * Gib eine Darstellung des Punktes {{formula}}A'{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 58.1 279 * Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}g'{{/formula}} an.
280 * Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}E'{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 51.1 281 )))
282 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 68.1 283
Sebastian Schirmer 89.1 284 {{aufgabe id="Punkt mit vorgebenen Abstand bestimmen" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Sebastian Schirmer" zeit="5"}}
Sebastian Schirmer 89.2 285 Gegeben ist die Gerade {{formula}}g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}} mit {{formula}}t \in \mathbb{R}{{/formula}} und der Punkt {{formula}}P (-2|3|1){{/formula}}.
Sebastian Schirmer 89.1 286 Der Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} beträgt 6 LE.
287
288 Bestimme einen Punkt {{formula}}Q{{/formula}}, der von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} 2 LE entfernt ist.
289 {{/aufgabe}}
290
Martin Rathgeb 69.1 291 == Volumina ==
292
Martin Rathgeb 79.1 293 {{aufgabe id="Quader durch Punkte" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Günther Beikert, Martin Rathgeb, nach IQB e.V. 2015 Teil A: Geometrie 1.1" zeit="20"}}
Martin Rathgeb 74.1 294 Gegeben sind die drei Punkte {{formula}}A (2|1|2),\ B (-1|2|0),\ C_t (4t|2t|-5t){{/formula}} mit {{formula}}t>0{{/formula}}.
Martin Rathgeb 68.1 295 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 74.1 296 1. Zeichne die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_1{{/formula}} in ein Koordinatensystem.
297 1. Zeige, dass die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_t{{/formula}} für jedes {{formula}}t{{/formula}} zusammen mit dem Koordinatenursprung Eckpunkte eines Quaders sind.
Martin Rathgeb 75.1 298 1. Zeichne die Punkte {{formula}}A',\ B',\ C_1',\ O'{{/formula}}, die im Quader von Teilaufgabe b den Punkten {{formula}}A,\ B,\ C_1,\ O{{/formula}} gegenüber liegen, in das Koordinatensystem von Teilaufgabe a und berechne ihre Koordinaten.
Martin Rathgeb 74.1 299 1. Bestimme für die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_1{{/formula}} das Volumen des Quaders aus Teilaufgabe b.
300 1. Untersuche, ob es ein {{formula}}t{{/formula}} gibt, sodass der Quader aus Teilaufgabe b das Volumen 15 hat.
Martin Rathgeb 68.1 301 {{/aufgabe}}
Sebastian Schirmer 80.1 302
303
Anna Kukin 82.2 304 {{aufgabe id="Spiegelung eines Punktes an einer Ebene" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2021MerhoehtAAGLAA211_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
Anna Kukin 81.1 305 Gegeben sind der Punkt {{formula}}P(-1| 7 | 2){{/formula}} und die Ebene {{formula}}E:\ x_1 + 3x_2 = 0{{/formula}}.
306 (%class=abc%)
307 1. Zeige, dass {{formula}}P{{/formula}} nicht in {{formula}}E{{/formula}} liegt.
308 1. Bestimme die Koordinaten des Punkts, der entsteht, wenn {{formula}}P{{/formula}} an {{formula}}E{{/formula}} gespiegelt
309 wird.
310 {{/aufgabe}}
Anna Kukin 83.1 311
Anna Kukin 84.1 312 {{aufgabe id="Spiegelung an einer Ebene" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2023MerhoehtAAGLAA222_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
Anna Kukin 83.1 313 Gegeben sind die Geraden {{formula}} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R}{{/formula}}.
314
315 (%class=abc%)
316 1. Begründe, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} nicht identisch sind.
317 1. Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade {{formula}} h {{/formula}} abgebildet werden. Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere dein Vorgehen.
318 {{/aufgabe}}
Anna Kukin 85.1 319
Anna Kukin 85.2 320 {{aufgabe id="Orthogonalität zur Ebene und Spiegelung" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2025MgrundlegendAAGLAA221_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="g" tags="iqb" cc="BY"}}
Anna Kukin 85.1 321 Die Ebene {{formula}} E {{/formula}} wird durch die Gleichung {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R} {{/formula}} beschrieben.
322
323 (%class=abc%)
324 1. Zeige, dass der Vektor {{formula}}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} senkrecht zur Ebene {{formula}} E {{/formula}} steht.
325 1. Bestimme die Koordinaten eines Punkts {{formula}} P {{/formula}} mit folgender Eigenschaft:
326 Wird der Punkt {{formula}} P {{/formula}} an der Ebene {{formula}} E {{/formula}} gespiegelt, so hat der entstehende Punkt vom Punkt {{formula}} P {{/formula}} den Abstand 20.
327 {{/aufgabe}}
Anna Kukin 87.1 328
329
330 {{aufgabe id="Volumen von Quadern" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://mathe-arbeitsheft.zsl-bw.de/xwiki/bin/edit/Jahrgangsstufen/BPE_16_6/WebHome]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
331 [[image:Quader.png||width="120" style="float: right"]]
332 Die Vektoren {{formula}} \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} {{/formula}}, {{formula}} \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} und {{formula}} \vec{c}_t = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} {{/formula}} spannen für jeden Wert von {{formula}} t \in \mathbb{R} \setminus \{0\} {{/formula}} einen Körper auf. Die Abbildung
333 zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von {{formula}}t{{/formula}}.
334
335 (%class=abc%)
336 1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
337 1. Bestimme diejenigen Werte von {{formula}} t {{/formula}}, für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
338 {{/aufgabe}}