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Version 114.6 von Rüdger Hölzel am 2026/07/07 10:26
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Holger Engels 1.1 1 {{seiteninhalt/}}
2
Martina Wagner 66.1 3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen.
Holger Engels 109.1 4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen.
Martina Wagner 66.1 5 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide mit Grundfläche in Koordinatenebene) berechnen.
Holger Engels 109.1 6 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide) berechnen.
Anna Kukin 2.1 7
Martin Rathgeb 69.1 8 == Abstände ==
9
Martina Wagner 65.1 10 {{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" zeit="10"}}
Martin Rathgeb 33.1 11 Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
Martin Rathgeb 32.1 12
13 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 39.1 14 1. (((
15 Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
Martin Rathgeb 33.1 16 )))
Martin Rathgeb 39.1 17 1. (((
18 Zeichne die Punkte {{formula}}P{{/formula}}, {{formula}}Q{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}.
19
20 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
Martin Rathgeb 33.1 21 )))
Martin Rathgeb 39.1 22 1. (((
23 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist wie {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
24 )))
25 1. (((
Martin Rathgeb 44.1 26 Ein Mitschüler behauptet: „Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
Martin Rathgeb 33.1 27
Martin Rathgeb 39.1 28 Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
Martin Rathgeb 33.1 29 )))
Martin Rathgeb 31.1 30 {{/aufgabe}}
31
Martina Wagner 65.1 32 {{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="8"}}
Martin Rathgeb 46.1 33 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene {{formula}}Z:\ z=0{{/formula}}.
Martin Rathgeb 38.1 34
35 (%class=abc%)
36 1. (((
Martin Rathgeb 39.1 37 Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Z){{/formula}}.
Martin Rathgeb 38.1 38 )))
39 1. (((
Martin Rathgeb 39.1 40 Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
Martin Rathgeb 38.1 41
Martin Rathgeb 39.1 42 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
Martin Rathgeb 38.1 43 )))
44 1. (((
Martin Rathgeb 39.1 45 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}Z{{/formula}} doppelt so groß ist.
Martin Rathgeb 38.1 46 )))
47 {{/aufgabe}}
48
Martina Wagner 65.1 49 {{aufgabe id="Lotfußpunkt auf Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
Martin Rathgeb 41.1 50 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
51
52 {{formula}}
Martin Rathgeb 42.1 53 g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
Martin Rathgeb 41.1 54 {{/formula}}
55
56 (%class=abc%)
57 1. (((
Martin Rathgeb 42.1 58 Gib einen allgemeinen Punkt {{formula}}G_r{{/formula}} der Geraden {{formula}}g{{/formula}} in Koordinaten an.
Martin Rathgeb 41.1 59 )))
60 1. (((
Martin Rathgeb 42.1 61 Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PG_r}{{/formula}}.
Martin Rathgeb 41.1 62 )))
63 1. (((
Martin Rathgeb 49.1 64 Berechne dasjenige {{formula}}r_0{{/formula}}, für das der Vektor {{formula}}\overrightarrow{PG_{r_0}}{{/formula}} senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden {{formula}}g{{/formula}} steht, und erläutere, weshalb dafür gilt: {{formula}}d(P;G_{r_0})=d(P;g){{/formula}}.
Martin Rathgeb 41.1 65 )))
66 {{/aufgabe}}
67
Rüdger Hölzel 114.4 68 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (1)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="15"}}
Clemens Baur 97.1 69
70 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
Rüdger Hölzel 114.1 71
72 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
73
74 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
75
Rüdger Hölzel 114.5 76 Beschreiben Sie in eigenen Worten den für Lösungsmöglichkeit "Hilfsebene" dargestellten Rechenweg.
Clemens Baur 92.1 77
Rüdger Hölzel 114.5 78 [[image:Moeglichkeit_1.png||width="250"]]|[[image:Rechenweg_1.png||width="350"]]
Rüdger Hölzel 112.1 79 {{/aufgabe}}
Rüdger Hölzel 114.1 80
Rüdger Hölzel 114.4 81 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (2)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="15"}}
Rüdger Hölzel 110.1 82 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
83
Rüdger Hölzel 114.1 84 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
85
86 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
87
Rüdger Hölzel 114.6 88 Dokumentieren Sie den Rechenweg zu Lösungsmöglichkeit "Extremwertaufgabe".
Rüdger Hölzel 110.1 89
Rüdger Hölzel 114.6 90 [[image:Moeglichkeit_2.png||width="450"]]| Verbindungsvektor {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} in Abhängigkeit des Parameters {{formula}}t{{/formula}} bilden. Betrag von {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} bestimmen. Dieser Term beschreibt den Abstand {{formula}}d{{/formula}} in Abhängigkeit des Parameters {{formula}}t{{/formula}}. Das Minimum von {{formula}}d(t){{/formula}} soll bestimmt werden. Hierzu betrachtet man den Term unter der Wurzel ({{formula}}f(t){{/formula}}). Mit Hilfe der Differenzialrechnung das lokale Minimum von {{formula}}f{{/formula}} berechnen (Da das Schaubild von {{formula}}f{{/formula}} eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist dies auch das globale Minimum. Die Minimumstelle in {{formula}}d(t){{/formula}} einsetzen. Das Ergebnis ist der gesuchte Abstand.
Rüdger Hölzel 114.1 91 {{/aufgabe}}
92
Rüdger Hölzel 114.4 93 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (3)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="15"}}
Rüdger Hölzel 110.1 94 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
95
96 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
97
98 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
99
100 Erstellen Sie für Lösungsmöglichkeit 3 den Rechenweg und beschreiben Sie die einzelnen Schritte.
101
Clemens Baur 97.1 102 ||Lösungsmöglichkeit 3: Orthogonalität
Clemens Baur 106.1 103 [[image:Moeglichkeit_3.png||width="250"]]||
Rüdger Hölzel 112.1 104 {{/aufgabe}}
Rüdger Hölzel 114.1 105
Rüdger Hölzel 114.4 106 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (4)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="15"}}
Rüdger Hölzel 110.1 107
108 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
109
110 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
111
112 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
113
114 Erläutern Sie welche Idee hinter Lösungsweg 4 steckt.
115
116
Clemens Baur 106.1 117 ||Lösungsmöglichkeit 4: Höhe eines Parallelogramms
118 [[image:Moeglichkeit_4.png||width="250"]]||
Rüdger Hölzel 114.1 119 {{/aufgabe}}
120
Rüdger Hölzel 114.4 121 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (ges.)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="15"}}
Rüdger Hölzel 110.1 122
123 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
Clemens Baur 92.1 124
Rüdger Hölzel 110.1 125 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
126
127 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
Clemens Baur 92.1 128
Rüdger Hölzel 110.1 129 Vergleiche die obigen 4 Lösungsmöglichkeiten und erläutere die Unterschiede (Vor- und Nachteile) der jeweiligen Lösungsideen.
130
131 ||Lösungsmöglichkeit 1: Hilfsebene ||Lösungsmöglichkeit 2: Extremwertaufgabe
132 [[image:Moeglichkeit_1.png||width="250"]]||[[image:Moeglichkeit_2.png||width="250"]]
133 ||Lösungsmöglichkeit 3: Orthogonalität ||Lösungsmöglichkeit 4: Höhe eines Parallelogramms
134 [[image:Moeglichkeit_3.png||width="250"]]|| [[image:Moeglichkeit_4.png||width="250"]]||
Ansgar Wasmer-Rehberg 91.1 135 {{/aufgabe}}
136
Martina Wagner 65.1 137 {{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
Martin Rathgeb 39.1 138 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
139
140 {{formula}}
141 g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
142 {{/formula}}
143
144 (%class=abc%)
145 1. (((
146 Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;g){{/formula}}.
147 )))
148 1. (((
149 Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}}, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
150
151 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
152 )))
153 1. (((
154 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}g{{/formula}} doppelt so groß ist.
155 )))
156 {{/aufgabe}}
157
Martin Rathgeb 70.1 158 {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="15"}}
Martin Rathgeb 14.1 159 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
Martin Rathgeb 10.1 160
Martin Rathgeb 11.1 161 {{formula}}
162 d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
163 {{/formula}}
164
Martin Rathgeb 10.1 165 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 11.1 166 1. (((
Martin Rathgeb 25.1 167 Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
Martin Rathgeb 10.1 168 )))
Martin Rathgeb 11.1 169 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 170 Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 10.1 171 )))
Martin Rathgeb 11.1 172 1. (((
173 Untersuche die Gleichheitsfälle:
174
175 * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
176 * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
177
Martin Rathgeb 10.1 178 Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
179 )))
Martin Rathgeb 11.1 180 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 181 Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
Martin Rathgeb 11.1 182 )))
183 1. (((
Martin Rathgeb 23.1 184 Erläutere folgende Aussage geometrisch:
Martin Rathgeb 11.1 185
Martin Rathgeb 10.1 186 {{formula}}
187 M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
188 {{/formula}}
Martin Rathgeb 11.1 189 )))
Martin Rathgeb 10.1 190 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 13.1 191
Martin Rathgeb 70.1 192 {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="20"}}
Martin Rathgeb 13.1 193 Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
194
Martin Rathgeb 64.1 195 Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
Martin Rathgeb 13.1 196
197 (%class=abc%)
198 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 199 Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
Martin Rathgeb 13.1 200 * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
201 * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
202 * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
203 )))
204 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 205 Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 13.1 206 )))
207 1. (((
208 Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
209 Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
210 )))
211 1. (((
212 Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
213 )))
214 1. (((
215 Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
216
Martin Rathgeb 19.1 217 Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
Martin Rathgeb 13.1 218 1. (((
219 Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
220
221 Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
222 )))
223 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 14.1 224
Martin Rathgeb 70.1 225 {{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="15"}}
Martin Rathgeb 21.1 226 **Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
Martin Rathgeb 16.1 227
Martin Rathgeb 19.1 228 Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
Martin Rathgeb 16.1 229
230 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 28.1 231 1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
Martin Rathgeb 16.1 232 )))
Martin Rathgeb 21.1 233 1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
Martin Rathgeb 16.1 234 )))
Martin Rathgeb 28.1 235 1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
Martin Rathgeb 16.1 236 )))
Martin Rathgeb 29.1 237 1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
Martin Rathgeb 16.1 238 )))
Martin Rathgeb 28.1 239 1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
Martin Rathgeb 16.1 240 )))
241 {{/aufgabe}}
Dirk Tebbe 38.2 242
Martin Rathgeb 70.1 243 {{aufgabe id="Sonnenegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden Württemberg: berufliche Gymnasium, Abitur 2023 Teil 4 Vektorgeometrie" niveau="e" zeit="25"}}
Dirk Tebbe 39.3 244 Die Punkte {{formula}}A(2|2|4){{/formula}}, {{formula}}B(3|2|2){{/formula}} und {{formula}}C(4|5|3){{/formula}} sind die Eckpunkte eines über dem Boden ({{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.
245 Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}; 0 \le t \le 1{{/formula}}, beschreiben lässt.
246 Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
247 (%class=abc%)
Dirk Tebbe 38.2 248
Dirk Tebbe 39.3 249 1. (((Geben Sie die Länge des Pfosten an.
250 )))
251 1. (((Zeigen Sie, dass das Sonnensegel in der Ebene mit der Gleichung {{formula}}2x_1-x_2+x_3=6{{/formula}} liegt.
Dirk Tebbe 40.1 252 Bestimmen Sie den Abstand des Sonnensegels zum Boden.
Dirk Tebbe 39.3 253 )))
254 1. (((Der Punkt C ist mit einem Seil an dem Pfosten befestigt. Beurteilen Sie, ob ein Seil der Länge 1,85 m dafür ausreichend ist.
255 )))
256 {{/aufgabe}}
Dirk Tebbe 38.2 257
Martin Rathgeb 70.1 258 {{aufgabe id="Dreiecksflächen" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Dirk Tebbe, Martin Rathgeb nach BW BG, Abitur 2025 Aufgabe 5 Vektorgeometrie" niveau="e" zeit="15"}}
Martin Rathgeb 56.1 259 Gegeben ist die Ebene {{formula}}E: 2x_1 − x_2 + 2x_3 = 4{{/formula}}. Ihre Spurpunkte bilden das Dreieck {{formula}}ABC{{/formula}}.
260
261 (%class=abc%)
262 1. Zeige, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
Dirk Tebbe 56.2 263 1. Berechne den Umfang und die Fläche des Dreiecks.
Martin Rathgeb 56.1 264 1. Ermitte die Gleichung einer Geraden, die dieses Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt zerlegt.
Martin Rathgeb 55.1 265 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 51.1 266
Martin Rathgeb 70.1 267 {{aufgabe id="Spiegelung an Punkt" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="16"}}
Martin Rathgeb 60.1 268 Gegeben sind die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}}, {{formula}}C{{/formula}} sowie ein Punkt {{formula}}S{{/formula}}. Untersuche die Spiegelung von {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}g=g(A;B){{/formula}} und {{formula}}E=\text{E}(A;B;C){{/formula}} an {{formula}}S{{/formula}} unter folgenden Aspekten.
Martin Rathgeb 55.1 269
Martin Rathgeb 51.1 270 (%class=abc%)
271 1. (((
Martin Rathgeb 58.1 272 Fertige eine Skizze der Situation an und bezeichne die Spiegelbilder mit {{formula}}A'{{/formula}}, {{formula}}g'{{/formula}} und {{formula}}E'{{/formula}}.
273 )))
274 1. (((
Martin Rathgeb 60.1 275 Beschreibe die Lage der Spiegelbilder. Verwende dafür z.B. die Stichworte: Mittelpunkt, Gerade durch zwei Punkte, Ebene durch drei Punkte, Parallelität.
Martin Rathgeb 51.1 276 )))
277 1. (((
Martin Rathgeb 58.1 278 Stelle die Spiegelbilder algebraisch dar:
Martin Rathgeb 55.1 279
Martin Rathgeb 61.1 280 * Gib eine Darstellung des Punktes {{formula}}A'{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 58.1 281 * Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}g'{{/formula}} an.
282 * Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}E'{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 51.1 283 )))
284 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 68.1 285
Sebastian Schirmer 89.1 286 {{aufgabe id="Punkt mit vorgebenen Abstand bestimmen" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Sebastian Schirmer" zeit="5"}}
Sebastian Schirmer 89.2 287 Gegeben ist die Gerade {{formula}}g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}} mit {{formula}}t \in \mathbb{R}{{/formula}} und der Punkt {{formula}}P (-2|3|1){{/formula}}.
Sebastian Schirmer 89.1 288 Der Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} beträgt 6 LE.
289
290 Bestimme einen Punkt {{formula}}Q{{/formula}}, der von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} 2 LE entfernt ist.
291 {{/aufgabe}}
292
Martin Rathgeb 69.1 293 == Volumina ==
294
Martin Rathgeb 79.1 295 {{aufgabe id="Quader durch Punkte" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Günther Beikert, Martin Rathgeb, nach IQB e.V. 2015 Teil A: Geometrie 1.1" zeit="20"}}
Martin Rathgeb 74.1 296 Gegeben sind die drei Punkte {{formula}}A (2|1|2),\ B (-1|2|0),\ C_t (4t|2t|-5t){{/formula}} mit {{formula}}t>0{{/formula}}.
Martin Rathgeb 68.1 297 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 74.1 298 1. Zeichne die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_1{{/formula}} in ein Koordinatensystem.
299 1. Zeige, dass die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_t{{/formula}} für jedes {{formula}}t{{/formula}} zusammen mit dem Koordinatenursprung Eckpunkte eines Quaders sind.
Martin Rathgeb 75.1 300 1. Zeichne die Punkte {{formula}}A',\ B',\ C_1',\ O'{{/formula}}, die im Quader von Teilaufgabe b den Punkten {{formula}}A,\ B,\ C_1,\ O{{/formula}} gegenüber liegen, in das Koordinatensystem von Teilaufgabe a und berechne ihre Koordinaten.
Martin Rathgeb 74.1 301 1. Bestimme für die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_1{{/formula}} das Volumen des Quaders aus Teilaufgabe b.
302 1. Untersuche, ob es ein {{formula}}t{{/formula}} gibt, sodass der Quader aus Teilaufgabe b das Volumen 15 hat.
Martin Rathgeb 68.1 303 {{/aufgabe}}
Sebastian Schirmer 80.1 304
305
Anna Kukin 82.2 306 {{aufgabe id="Spiegelung eines Punktes an einer Ebene" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2021MerhoehtAAGLAA211_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
Anna Kukin 81.1 307 Gegeben sind der Punkt {{formula}}P(-1| 7 | 2){{/formula}} und die Ebene {{formula}}E:\ x_1 + 3x_2 = 0{{/formula}}.
308 (%class=abc%)
309 1. Zeige, dass {{formula}}P{{/formula}} nicht in {{formula}}E{{/formula}} liegt.
310 1. Bestimme die Koordinaten des Punkts, der entsteht, wenn {{formula}}P{{/formula}} an {{formula}}E{{/formula}} gespiegelt
311 wird.
312 {{/aufgabe}}
Anna Kukin 83.1 313
Anna Kukin 84.1 314 {{aufgabe id="Spiegelung an einer Ebene" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2023MerhoehtAAGLAA222_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
Anna Kukin 83.1 315 Gegeben sind die Geraden {{formula}} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R}{{/formula}}.
316
317 (%class=abc%)
318 1. Begründe, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} nicht identisch sind.
319 1. Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade {{formula}} h {{/formula}} abgebildet werden. Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere dein Vorgehen.
320 {{/aufgabe}}
Anna Kukin 85.1 321
Anna Kukin 85.2 322 {{aufgabe id="Orthogonalität zur Ebene und Spiegelung" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2025MgrundlegendAAGLAA221_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="g" tags="iqb" cc="BY"}}
Anna Kukin 85.1 323 Die Ebene {{formula}} E {{/formula}} wird durch die Gleichung {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R} {{/formula}} beschrieben.
324
325 (%class=abc%)
326 1. Zeige, dass der Vektor {{formula}}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} senkrecht zur Ebene {{formula}} E {{/formula}} steht.
327 1. Bestimme die Koordinaten eines Punkts {{formula}} P {{/formula}} mit folgender Eigenschaft:
328 Wird der Punkt {{formula}} P {{/formula}} an der Ebene {{formula}} E {{/formula}} gespiegelt, so hat der entstehende Punkt vom Punkt {{formula}} P {{/formula}} den Abstand 20.
329 {{/aufgabe}}
Anna Kukin 87.1 330
331
332 {{aufgabe id="Volumen von Quadern" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://mathe-arbeitsheft.zsl-bw.de/xwiki/bin/edit/Jahrgangsstufen/BPE_16_6/WebHome]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
333 [[image:Quader.png||width="120" style="float: right"]]
334 Die Vektoren {{formula}} \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} {{/formula}}, {{formula}} \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} und {{formula}} \vec{c}_t = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} {{/formula}} spannen für jeden Wert von {{formula}} t \in \mathbb{R} \setminus \{0\} {{/formula}} einen Körper auf. Die Abbildung
335 zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von {{formula}}t{{/formula}}.
336
337 (%class=abc%)
338 1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
339 1. Bestimme diejenigen Werte von {{formula}} t {{/formula}}, für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
340 {{/aufgabe}}