Änderungen von Dokument Lösung Spiegelung eines Punktes an einer Ebene

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,7 +1,46 @@
1		-(%class=abc%)
2		-1. {{formula}}-1+3\cdot 7\neq 0{{/formula}}
3		-1. Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}}, die senkrecht zu {{formula}}E{{/formula}} durch {{formula}}P{{/formula}} verläuft:
4		-{{formula}}\vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2\end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}
	1	+=== Teilaufgabe a) ===
	2	+{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	3	+ {{formula}}-1+3\cdot 7\neq 0{{/formula}}
	4	+{{/detail}}
5	5
	6	+
	7	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	8	+Einsetzen von Punkt {{formula}}P{{/formula}} in die Ebenengleichung (Punktprobe) ergibt {{formula}}-1+3\cdot 7\neq 0{{/formula}}.
	9	+<br>
	10	+Somit liegt {{formula}}P{{/formula}} nicht in {{formula}}E{{/formula}}.
	11	+{{/detail}}
	12	+
	13	+=== Teilaufgabe b) ===
	14	+{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	15	+Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}}, die senkrecht zu {{formula}}E{{/formula}} durch {{formula}}P{{/formula}} verläuft:
	16	+<br>
	17	+{{formula}}\vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2\end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}
	18	+<p></p>
6	6	Mit {{formula}}-1+\lambda+3\cdot (7+3\lambda)=0 \ \Leftrightarrow \ 10\lambda=-20 \ \Leftrightarrow \lambda =-2{{/formula}} ergibt sich für den Ortsvektor des
7	7	gesuchten Punkts {{formula}}\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2\end{pmatrix}-4\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\ -5 \\ 2\end{pmatrix}{{/formula}}.
	21	+{{/detail}}
	22	+
	23	+
	24	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	25	+Wir spiegeln den Punkt {{formula}}P{{/formula}} an {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe des Lotfußpunktverfahrens. Dazu konstruieren wir zunächst eine Gerade {{formula}}g{{/formula}}, die senkrecht zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft und durch den Punkt {{formula}}P{{/formula}} geht (Lotgerade).
	26	+<br>
	27	+Da der Normelenvektor der Ebene senkrecht zu der Ebene steht, verwenden wir diesen als Richtungsvektor der Geraden {{formula}}g{{/formula}}. Da die Gerade zudem durch den Punkt {{formula}}P{{/formula}} geht, verwenden wir diesen als Stützpunkt. Die Geradengleichung lautet somit:
	28	+<br>
	29	+{{formula}}g: \ \vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2\end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}
	30	+<p></p>
	31	+Nun setzen wir einen allgemeinen Geradenpunkt {{formula}}F_\lambda(-1+\lambda | 7+3\lambda | 2){{/formula}} in die Ebenengleichung ein und erhalten für {{formula}}\lambda{{/formula}}:
	32	+<br>
	33	+{{formula}}
	34	+\begin{align*}
	35	+-1+\lambda+3\cdot (7+3\lambda) &=0 \\
	36	+-1+\lambda + 21 + 9\lambda &= 0 \\
	37	+\Leftrightarrow \ 10\lambda &=-20 \quad \mid :10 \\
	38	+\Leftrightarrow \lambda &=-2
	39	+\end{align*}
	40	+{{/formula}}
	41	+<br>
	42	+Somit erhalten wir den Lotfußpunkt {{formula}}F_\lambda(-3| 1 | 2){{/formula}}.
	43	+<p></p>
	44	+Dann gilt: {{formula}}overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{OP'} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow P'(-5 \mid -5 \mid 2){{/formula}}
	45	+{{/detail}}
	46	+