Änderungen von Dokument Lösung Spiegelung eines Punktes an einer Ebene

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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1		-=== Teilaufgabe a) ===
2		-{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3		- {{formula}}-1+3\cdot 7\neq 0{{/formula}}
4		-{{/detail}}
5		-
6		-
7		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8		-Einsetzen von Punkt {{formula}}P{{/formula}} in die Ebenengleichung (Punktprobe) ergibt {{formula}}-1+3\cdot 7\neq 0{{/formula}}.
9		-<br>
10		-Somit liegt {{formula}}P{{/formula}} nicht in {{formula}}E{{/formula}}.
11		-{{/detail}}
12		-
13		-=== Teilaufgabe b) ===
14		-{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
15		-Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}}, die senkrecht zu {{formula}}E{{/formula}} durch {{formula}}P{{/formula}} verläuft:
16		-<br>
	1	+(%class=abc%)
	2	+1. {{formula}}-1+3\cdot 7\neq 0{{/formula}}
	3	+1. Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}}, die senkrecht zu {{formula}}E{{/formula}} durch {{formula}}P{{/formula}} verläuft:
17	17	{{formula}}\vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2\end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}
18		-<p></p>
	5	+
19	19	Mit {{formula}}-1+\lambda+3\cdot (7+3\lambda)=0 \ \Leftrightarrow \ 10\lambda=-20 \ \Leftrightarrow \lambda =-2{{/formula}} ergibt sich für den Ortsvektor des
20	20	gesuchten Punkts {{formula}}\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2\end{pmatrix}-4\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\ -5 \\ 2\end{pmatrix}{{/formula}}.
21		-{{/detail}}
22		-
23		-
24		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
25		-Wir spiegeln den Punkt {{formula}}P{{/formula}} an {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe des Lotfußpunktverfahrens. Dazu konstruieren wir zunächst eine Gerade {{formula}}g{{/formula}}, die senkrecht zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft und durch den Punkt {{formula}}P{{/formula}} geht (Lotgerade).
26		-<br>
27		-Da der Normelenvektor der Ebene senkrecht zu der Ebene steht, verwenden wir diesen als Richtungsvektor der Geraden {{formula}}g{{/formula}}. Da die Gerade zudem durch den Punkt {{formula}}P{{/formula}} geht, verwenden wir diesen als Stützpunkt. Die Geradengleichung lautet somit:
28		-<br>
29		-{{formula}}g: \ \vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2\end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}{{/formula}}
30		-<p></p>
31		-Nun setzen wir einen allgemeinen Geradenpunkt {{formula}}F_\lambda(-1+\lambda | 7+3\lambda | 2){{/formula}} in die Ebenengleichung ein und erhalten für {{formula}}\lambda{{/formula}}:
32		-<br>
33		-{{formula}}
34		-\begin{align*}
35		--1+\lambda+3\cdot (7+3\lambda) &=0 \\
36		--1+\lambda + 21 + 9\lambda &= 0 \\
37		-\Leftrightarrow \ 10\lambda &=-20 \quad \mid :10 \\
38		-\Leftrightarrow \lambda &=-2
39		-\end{align*}
40		-{{/formula}}
41		-<br>
42		-Somit erhalten wir den Lotfußpunkt {{formula}}F_\lambda(-3| 1 | 2){{/formula}}.
43		-<p></p>
44		-Dann gilt: {{formula}}overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{OP'} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow P'(-5 \mid -5 \mid 2){{/formula}}
45		-{{/detail}}
46		-