Lösung Glücksradiqb

Zuletzt geändert von akukin am 2024/03/24 17:36
  1. X  zählt die erzielten ungeraden Zahlen
    P\left(A\right)=P\left(X=7\right)=B_{20;\frac{1}{2}}\left(7\right)=\binom{20}{7}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{13} \approx 0,0739
    P\left(B\right)=P\left(7<X\le12\right)=F_{20;\frac{1}{2}}\left(12\right)-F_{20;\frac{1}{2}}\left(7\right)\approx0,7368 
  2. C=\left\{00,01,02,03,10,11,12,20,21,30\right\};\ \ P\left(C\right)=\frac{10}{10^2}=0,1
    D=\left\{12,13,21,31\right\};\ P\left(D\right)=\frac{4}{10^2}=0,04
    C\cap D=\left\{12,21\right\};\ \ P\left(C\cap D\right)=\frac{2}{10^2}=0,02
    P\left(C\right)\cdot P\left(D\right)=0,1\cdot0,04=0,004\neq0,02=P\left(C\cap D\right)
    Also sind die beiden Ereignisse stochastisch abhängig.

    • P=\left(\frac{9}{10}\right)^4=0,6561
    • Erwartungswert bei weiterer Drehung:
      \mu=\frac{1}{10}\cdot0+\frac{1}{10}\cdot61+\ldots+\frac{1}{10}\cdot69=\frac{1}{10}\cdot(9\cdot60+45)=58,5
      Da der Erwartungswert kleiner als 60 ist, sollte er nicht noch einmal drehen.
    • Zwei aufeinanderfolgende Wert von n:

\begin{align*} 5n\cdot{0,9}^n &=5\left(n+1\right)\cdot{0,9}^{n+1}\\ \Leftrightarrow\ \frac{n}{n+1} &=\frac{0,9^{n+1}}{0,9^n}\\ \Leftrightarrow\ \frac{n}{n+1} &=0,9 \\ \Leftrightarrow\ \ \ \quad \ n &=9 \end{align*}

Da nur n=9 die Gleichung löst, stimmen die Erwartungswerte nur für neun- und zehnmaliges Drehen überein. Die Aussage ist also richtig.


    • Schätzwert für Wahrscheinlichkeit, „0“ zu erzielen: h=\frac{12}{80}>0,1
      Da der Schätzwert immer innerhalb des Konfidenzintervalls liegt, muss die obere Grenze größer als 0,1 sein.
      Das angegebene Ergebnis der 80 Würfe steht bei der gegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit in Einklang mit der vorgegebenen Annahme.

 ChatGPT 4:
Um zu erklären, warum die obere Grenze des Konfidenzintervalls größer als 0,1 ist, und um die Bedeutung des Konfidenzintervalls im Kontext dieser Aufgabe zu diskutieren, werden wir einige grundlegende Konzepte der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachten.

Konfidenzintervall:
Ein Konfidenzintervall ist ein Bereich von Werten, der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (hier 95%) die wahre Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses enthält. Es wird auf der Grundlage von Stichprobendaten berechnet.

Berechnung und Interpretation:
In Ihrem Fall wurde ein zehnseitiger Holzkörper 80 Mal geworfen, und 12 Mal wurde die „0“ erzielt. Das ergibt eine Stichprobenwahrscheinlichkeit von 12/80=0,15 für das Werfen einer „0“. Das Konfidenzintervall gibt dann an, mit welcher Sicherheit (95%) die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer „0“ in einem bestimmten Bereich liegt.

Warum ist die obere Grenze größer als 0,1?
Da die untere Grenze des Konfidenzintervalls bereits bei etwa 0,09 liegt, und das Intervall die tatsächliche Wahrscheinlichkeit mit einer hohen Sicherheit (95%) einschließen soll, muss die obere Grenze logischerweise höher als die beobachtete Stichprobenwahrscheinlichkeit (0,15) sein, um diesen Sicherheitsspielraum zu gewährleisten. Da 0,1 kleiner als die beobachtete Stichprobenwahrscheinlichkeit ist, muss die obere Grenze des Konfidenzintervalls größer als 0,1 sein, um die Unsicherheit in der Schätzung zu berücksichtigen.

Bedeutung bezüglich der Annahme einer 10% Wahrscheinlichkeit:
Wenn angenommen wird, dass die Wahrscheinlichkeit, eine „0“ zu werfen, tatsächlich 10% (0,1) beträgt, dann hilft das Konfidenzintervall zu beurteilen, wie plausibel diese Annahme aufgrund der beobachteten Daten ist. Wenn das Konfidenzintervall 0,1 einschließt, ist die Annahme einer 10%-igen Wahrscheinlichkeit mit den beobachteten Daten vereinbar. Wenn 0,1 jedoch außerhalb des Konfidenzintervalls liegt, ist die Annahme weniger wahrscheinlich, was darauf hindeuten könnte, dass die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, eine „0“ zu werfen, von 10% abweicht.

In Ihrem Fall scheint die Annahme einer Wahrscheinlichkeit von 10% für das Werfen einer „0“ durchaus im Bereich des Möglichen zu liegen, da die untere Grenze des Konfidenzintervalls nahe bei 0,09 liegt und die obere Grenze, wie argumentiert, größer als 0,1 sein muss. 

  1. Das 95 %-Prognoseintervall für p=0,1 soll genau bis 0,15 gehen.
    0,1+1,96\cdot\sqrt{\frac{0,1\cdot\left(1-0,1\right)}{n}}=0,15\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ n=\frac{0,1\cdot0,9}{\left(\frac{0,05}{1,96}\right)^2}\approx138,298
    Das heißt ab 139 Würfen wäre das Prognoseintervall so eng um 10 %, dass 15 % außerhalb des Prognoseintervalls mit 95 %-Sicherheitsniveau wäre.

Alternativ ausgehend vom Vertrauensintervall mit Näherungsformel:
Untere Grenze des Konfidenzintervalls für h=0,15;\beta=0,95 und gesuchtem n:

0,1 &=^!h-c\cdot\sqrt{\frac{h\left(1-h\right)}{n}} \\ \Leftrightarrow\ \ 0,1 &=0,15-1,96\cdot\sqrt{\frac{0,15\cdot0,85}{n}} \\ \Leftrightarrow\ \ n &=\frac{0,15\cdot0,85}{\left(\frac{0,05}{1,96}\right)^2}\approx195,92
Ab 196 Würfen wäre das 95 %-Konfidenzintervall laut Näherungsformel so eng um den Schätzwert von 15 %, dass die angenommenen 10 % nicht mehr darin liegen würden.

ChatGPT 4 (mit Python):
Um die kleinste Anzahl von Würfen zu bestimmen, bei denen das Erreichen von genau 15 % Treffern für die „0“ bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95 % nicht mit der Annahme vereinbar ist, dass die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer „0“ 10 % beträgt, müssen wir einen Hypothesentest durchführen. In diesem Fall ist ein Binomialtest geeignet, da wir es mit binären Ergebnissen („0“ oder nicht „0“) zu tun haben.
Die Nullhypothese (H0) lautet, dass die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer „0“ genau 10 % beträgt. Die Alternativhypothese (H1) ist, dass die Wahrscheinlichkeit ungleich 10 % ist. Wir suchen nach der kleinsten Anzahl von Würfen, bei denen ein Ergebnis von 15 % „0“-Würfen signifikant genug ist, um die Nullhypothese bei einem Signifikanzniveau von 5 % (entsprechend einer 95%igen Sicherheitswahrscheinlichkeit) abzulehnen.
Wir können dies berechnen, indem wir den kritischen Wert für den Binomialtest bestimmen, der angibt, wie viele Erfolge (hier: „0“-Würfe) erforderlich sind, um die Nullhypothese bei gegebener Versuchszahl und gegebener Nullhypothese-Wahrscheinlichkeit abzulehnen. Wir erhöhen die Anzahl der Versuche schrittweise, bis der Anteil von 15 % „0“-Würfen signifikant genug ist, um H0 abzulehnen.
Lassen Sie uns diese Berechnung durchführen.

Python-Code:
from scipy.stats import binom_test
import numpy as np

# Parameter festlegen
p_null = 0.10  # Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer "0" unter der Nullhypothese
p_observed = 0.15  # Beobachtete Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer "0"
alpha = 0.05  # Signifikanzniveau (5%)

# Die kleinste Anzahl von Würfen finden, bei der die Nullhypothese abgelehnt wird
n_min = None
for n in range(1, 1000):  # Grenze für n auf 1000 gesetzt, kann bei Bedarf angepasst werden
    x = int(np.round(p_observed * n))  # Anzahl der Erfolge ("0"-Würfe) bei n Versuchen
    p_value = binom_test(x, n, p_null, alternative='two-sided')
   
    if p_value < alpha:
        n_min = n
        break

n_min

Result
137

Die kleinste Anzahl von Würfen, bei der das Erreichen von genau 15 % Treffern für die „0“ bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95 % nicht mit der Annahme vereinbar ist, dass die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer „0“ 10 % beträgt, ist 137 Würfe. Bei dieser Anzahl von Würfen würde ein Ergebnis von 15 % „0“-Würfen signifikant genug sein, um die Nullhypothese (dass die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer „0“ genau 10 % beträgt) bei einem Signifikanzniveau von 5 % abzulehnen.