Lösung Verpackter Ball

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/20 22:22

Teilaufgabe 1

Erwartungshorizont {0,4}^3=0,064<0,1
Erläuterung der Lösung

Die Trefferwahrscheinlichkeit, einen Ball mit Glitzerfärbung zu erhalten, ist {p=\frac{2}{5}=0,4.

Diese Wahrscheinlichkeit soll sich im Laufe der Ausgabe der Bälle nicht ändern1; die Versuche sind also unabhängig voneinander.
Drei Kinder bekommen einen Ball, das heißt die Anzahl der Versuche ist n=3.
Die Anzahl der ausgegebenen Bälle mit Glitzerfärbung X ist also eine binomialverteilte Zufallsgröße mit p=\frac{2}{5} und n=3.
Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, dass alle 3 Kinder einen Ball mit Glitzerfärbung erhalten; damit ist die Anzahl der Treffer k=3.
Wir können die Bernoulli-Formel verwenden:
P\left(X=k\right)= \binom{n}{k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}
P\left(X=3\right)=\binom{3}{3}\cdot \left(\frac{2}{5}\right)^3\cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{3-3}=1\cdot \left(\frac{2}{5}\right)^3 \cdot 1 =\frac{8}{125}

Alternativ hätte man auch vereinfacht argumentieren können, dass bei jeder einzelnen Ausgabe die Einzelwahrscheinlichkeit p=\frac{2}{3} ist, und da es nur ein Ergebnis gibt, das zum betrachteten Ereignis gehört („Treffer, Treffer, Treffer“), kann einfach p\cdot p\cdot p gerechnet werden.

Nun müssen wir nur noch überprüfen, ob \frac{8}{125} tatsächlich kleiner als 10 % ist. Da uns der Taschenrechner nicht zur Verfügung steht, können wir die beiden Zahlen auf einen Nenner (125) bringen:
10 \%=\frac{10}{100}\overbrace{=}^{\frac{\cdot1,25}{\cdot1,25}}\frac{12,5}{125}
Jetzt ist sehr gut erkennbar, dass \frac{8}{125} tatsächlich kleiner ist als \frac{12,5}{125}. Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit wie behauptet kleiner als 10 %.


1In Realität ist das schwer einzuhalten. In den meisten Fällen wird es wohl zu Beginn eine feste Anzahl an Bällen geben, und von diesen wird ein fester Anteil mit Glitzerfärbung versehen sein. Das hieße aber im Umkehrschluss, dass die einzelnen Ausgaben an die Kinder nicht mehr unabhängig voneinander sind, denn im Extremfall könnten bei den ersten Ausgaben schon fast alle Glitzerbälle vergeben sein, was die Trefferwahrscheinlichkeit für die folgenden Kinder deutlich verkleinern würde. Man muss also entweder dafür sorgen, dass von den noch nicht ausgegebenen Bällen immer genau 40 % eine Glitzerfärbung haben (sehr unrealistisch), oder man hat eine riesige Anzahl von Bällen, sodass sich die Trefferwahrscheinlichkeit zumindest zu Beginn nicht gravierend verändert; dann wäre die Bedingung für eine Binomialverteilung immerhin noch näherungsweise erfüllt.

Teilaufgabe 2

Erwartungshorizont Zufallsexperiment: Vier Kinder erhalten jeweils einen Ball.
Ereignis: „Mindestens drei dieser Bälle haben keine Glitzerfärbung".
Erläuterung der Lösung \left(\frac{3}{5}\right)^4+4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^3\cdot\frac{2}{5}

Vergleichen wir diese beiden Summanden mit der Bernoulli-Formel: P\left(X=k\right)= \binom{n}{k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}

Beide Summanden enthalten den Bruch \frac{3}{5}. Es würde also naheliegen, diese Zahl als Trefferwahrscheinlichkeit p zu interpretieren. Da im Aufgabentext steht, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Ball mit Glitzerfärbung p=\frac{2}{5} ist, haben wir hier zwei Möglichkeiten:
  1. Wir interpretieren \frac{3}{5} tatsächlich als neue Trefferwahrscheinlichkeit p. Dann handelt es sich aber um einen Treffer, wenn ein Kind keinen Ball mit Glitzerfärbung bekommt (also einen Ball ohne Glitzerfärbung).
  2. Wir behalten p=\frac{2}{5} als Trefferwahrscheinlichkeit bei und interpretieren \frac{3}{5} als \left(1-p\right), also als die „Nietenwahrscheinlichkeit“.

So oder so, in beiden Fällen ist der erste Summand \left(\frac{3}{5}\right)^4 die Wahrscheinlichkeit, dass von 4 Kindern keines einen Ball mit Glitzerfärbung bekommt (n=4;k=0).

Der zweite Summand 4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^3\cdot\frac{2}{5} kann umgeschrieben werden:

4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^3\cdot\frac{2}{5}=\binom{4}{1}\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^1\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{4-1}

Nun ist gut zu erkennen, dass es sich um P\left(X=1\right) handelt, also der Wahrscheinlichkeit, dass von 4 Kindern genau eines einen Glitzerball erhält.

(Der Faktor 4 ist die Anzahl der Pfade, die im Baumdiagramm Ergebnissen mit genau einem Treffer entsprechen: TNNN, NTNN, NNTN, NNNT)

Die Summe \left(\frac{3}{5}\right)^4+4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^3\cdot\frac{2}{5} ist also die Wahrscheinlichkeit, dass kein oder ein Kind von 4 Kindern einen Ball mit Glitzerfärbung erhält.

\begin{align} P\left(X\le1\right) &=P\left(X=0\right) \ &&+ \ P\left(X=1\right) \\ &= \ \left(\frac{3}{5}\right)^4 \ &&+ \ 4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^3\cdot\frac{2}{5} \end{align}


„Kein oder ein Kind“ kann noch zusammengefasst werden zu „höchstens ein Kind“ oder „weniger als 2 Kinder“.