Lösung Verpackter Ball
Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/20 22:22
Teilaufgabe 1
Erwartungshorizont
Erläuterung der Lösung
Die Trefferwahrscheinlichkeit, einen Ball mit Glitzerfärbung zu erhalten, ist .
Drei Kinder bekommen einen Ball, das heißt die Anzahl der Versuche ist
Die Anzahl der ausgegebenen Bälle mit Glitzerfärbung
Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, dass alle 3 Kinder einen Ball mit Glitzerfärbung erhalten; damit ist die Anzahl der Treffer
Wir können die Bernoulli-Formel verwenden:
Alternativ hätte man auch vereinfacht argumentieren können, dass bei jeder einzelnen Ausgabe die Einzelwahrscheinlichkeit
Nun müssen wir nur noch überprüfen, ob
Jetzt ist sehr gut erkennbar, dass
1In Realität ist das schwer einzuhalten. In den meisten Fällen wird es wohl zu Beginn eine feste Anzahl an Bällen geben, und von diesen wird ein fester Anteil mit Glitzerfärbung versehen sein. Das hieße aber im Umkehrschluss, dass die einzelnen Ausgaben an die Kinder nicht mehr unabhängig voneinander sind, denn im Extremfall könnten bei den ersten Ausgaben schon fast alle Glitzerbälle vergeben sein, was die Trefferwahrscheinlichkeit für die folgenden Kinder deutlich verkleinern würde. Man muss also entweder dafür sorgen, dass von den noch nicht ausgegebenen Bällen immer genau 40 % eine Glitzerfärbung haben (sehr unrealistisch), oder man hat eine riesige Anzahl von Bällen, sodass sich die Trefferwahrscheinlichkeit zumindest zu Beginn nicht gravierend verändert; dann wäre die Bedingung für eine Binomialverteilung immerhin noch näherungsweise erfüllt.
Teilaufgabe 2
Erwartungshorizont
Zufallsexperiment: Vier Kinder erhalten jeweils einen Ball.Ereignis: „Mindestens drei dieser Bälle haben keine Glitzerfärbung".
Erläuterung der Lösung
Vergleichen wir diese beiden Summanden mit der Bernoulli-Formel:
- Wir interpretieren
tatsächlich als neue Trefferwahrscheinlichkeit
. Dann handelt es sich aber um einen Treffer, wenn ein Kind keinen Ball mit Glitzerfärbung bekommt (also einen Ball ohne Glitzerfärbung).
- Wir behalten
als Trefferwahrscheinlichkeit bei und interpretieren
als
, also als die „Nietenwahrscheinlichkeit“.
So oder so, in beiden Fällen ist der erste Summand
Der zweite Summand kann umgeschrieben werden:
(Der Faktor 4 ist die Anzahl der Pfade, die im Baumdiagramm Ergebnissen mit genau einem Treffer entsprechen: TNNN, NTNN, NNTN, NNNT)
Die Summe„Kein oder ein Kind“ kann noch zusammengefasst werden zu „höchstens ein Kind“ oder „weniger als 2 Kinder“.