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Wiki-Quellcode von Lösung Erwartungswert in Abhängigkeit von n und p

Version 2.3 von Andreas Fuchs am 2026/05/13 14:29

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author	version	line-number	content
	1.1	1	Im Dateinamen der jeweiligen Abbildung des Histogramms sind die Werte der beschreibenden Größen enthalten.
		2	Falls Du diese Werte näherungsweise getroffen hast oder vielleicht sogar exakt, dann gratulieren wir Dir.
	2.2	3	Ziel der Aufgabe war es, dass Du ein Gefühl dafür entwickelst, wo Du bei solchen Histogrammen möglichst schnell Informationen zu den drei beschreibenden Größen n, p und µ findest.
		4
		5	Beim ersten Paar ist der Erwartungswert µ = 10.
		6	Das kannst Du an der k-Achse bei der höchsten Säule des Histogramms ablesen.
		7	"Höchste Säule" bedeutet nämlich, dass bei dieser Trefferzahl die höchste Wahrscheinlichkeit sie zu erzielen vorhanden ist. Das ist für k = µ der Fall.
		8	Über die Beziehung µ=n*p kannst Du nachvollziehen, dass für verschiedene Kombinationen von n und p der gleiche Wert für µ erreicht werden kann.
		9	Also geht es bei der näheren Betrachtung der beiden Histogramme jetzt noch darum, welche Kombinationen von p und n hier gewählt wurden.
		10	Dafür solltest Du zunächst prüfen, ob die Säulen links von der höchsten Säule höher sind als die rechts von der höchsten Säule. Genauer gesagt gehst Du von µ = 10 auf der k-Achse jeweils gleich weit nach links und rechts, zum Beispiel k=9 und k=11. Sind die beiden Säulen, die zu diesen Werten gehören gleich hoch, dann ist p = 0,5. Ist die Säule links höher als die Säule rechts, dann ist p < 0,5. Ist die rechte Säule höher als die linke, dann ist p > 0,5. Damit hast Du eine erste Orientierung für p.
	2.3	11	Weil p = µ/n gilt, kannst Du nun über Werte von n und mit Hilfe des Taschenrechners und der Binomialverteilung (Binompdf) für einen Wert von n Deiner Wahl prüfen, ob für k=10 oder einen anderen Wert von k die Höhe der Säule zu der im Histogramm passt. Dazu gibts du am Taschenrechner zunächst bei den Einstellungen zur Verteilung vor, dass Du einen Wert P(X=k) berechnen möchtest. Als Wert für n solltest Du eine natürliche Zahl wählen, welche in einem Bereich rechts von µ auf der k-Achse liegt, wo keine Säulen mehr erkennbar sind. Als Wert für p gibst Du µ/n ein, weil Du µ = 10 schon ermittelt und n gerade gewählt hast. Du musst µ/n nicht berechnen, sondern kannst die Rechnung direkt für p eingeben. Nun muss von Dir noch ein Wert für k angegeben werden, für den Du eine Säulenhöhe gut ablesen kannst. Jetzt berechnet der Taschenrechner die Säulenhöhe nach Deinen Vorgaben.Du vergleichst nun die tatsächlich Säulenhöhe mit der berechneten Säulenhöhe. Bei einer Abweichung musst Du Deinen Wert für n anpassen und ihn entsprechend größer oder kleiner wählen (verändere n zunächst in kleinen Schritten um 1 oder 2). Dadurch ändert sich natürlich auch p = µ/n. Beide Änderungen gibst Du wie schon zuvor in den Taschenrechner ein und führst die Berechnung erneut durch. Nun prüfst Du wieder, ob der neu berechnetete Wert näher am Wert für die Säulenhöhe aus dem Histogramm liegt. Falls ja, dann passt Du den Wert für n weiter an, wie Du schon zuvor angepasst hattest, also noch größer machen oder noch kleiner machen.
		12	Irgendwann fangen die Werte an zu passen. Allerdings bleibt eine gewisse Unsicherheit, weil Du die Werte nicht so genau aus dem Histogramm ablesen kannst, wie der Taschenrechner sie berechnet.
		13	Du hast jetzt vielleicht ein besseres Gefühl dafür, wie sich die Werte (Säulenhöhen) in einem Histogramm einer Binomialverteilung bei Änderungen von n und p bei festem Erwartungswert µ verhalten.
		14	Die beiden anderen Paare A und B liefern Dir ähnliche Zusammenhänge, wenn bei zwei Verteilungen die Trefferwahrscheinlichkeit p gleich bleibt und der Wert von n und damit auch von µ sich ändert. Wenn Du das Vorgehen am Taschenrechner verstanden hast, kannst Du dies sehr schnell auf die neue Situation anpassen. Dazu wählst Du den Wert von p so, dass er in dem Bereich liegt, den die Säulenhöhen (siehe oben) vorgeben. Dann liest Du den Wert von µ aus dem Histogramm ab und gibs den Wert von n als µ/p vor. Am Taschenrechner berechnest Du dann die Säulenhöhen zu k = µ und prüfst, ob diese zu der im Histogramm passt. Falls es noch nicht passt, musst Du den Wert von p ändern (ein wenig größer oder kleiner machen in Schritten von 0,01) und einen weiteren Durchlauf starten. Auch hier machst Du solange weiter, bis die Werte gut passen. Eine gewisse Unsicherheit bleibt wieder wegen der Ablesegenauigkeit.
		15	Das dritte Paar lässt den Wert von n, also der Anzahl der Durchführungen (Länge der Bernoulli-Kette) fest. Inzwischen solltest Du das Verfahren so anpassen können, dass Du n näherungsweise ermittelst und dann über eine passende Wahl von p über p = µ/n (µ liest Du wieder im Diagramm ab) Werte der Binomialverteilung berechnest und dies mit den Werten des jeweiligen Histogramms vergleichst. Auch hier bleibt eine Unsicherheit bestehen, weil Du nicht genau ablesen kannst.