Änderungen von Dokument Lösung Eigenschaften der Gauß´schen Glockenfunktion mithilfe der Differentialrechnung nachweisen

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8	8	Da {{formula}}\varphi'(0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}0^2} \cdot 0 = 0{{/formula}} ist, ist die notwendige Bedingung für Extrempunkte erfüllt. Nun bilden wir noch die zweite Ableitung, um zu prüfen, ob an der Stelle tatsächlich ein Hochpunkt vorliegt (alternativ: Überprüfung mit Vorzeichenwechsel).
9	9
10	10	Mit der Produkt- und der Kettenregel erhalten wir:
11		-{{formula}}\varphi''(x) = -\varphi(x) + (-x) \cdot (-x \cdot \varphi(x)) = (x^2 - 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}{{/formula}}
	11	+{{formula}}\varphi''(x) = -\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}+ (-x) \cdot \left(-x \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}\right) = (x^2 - 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}{{/formula}}
12	12	und damit {{formula}}\varphi''(0) = (-1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}0^2} = -\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} < 0{{/formula}} {{formula}}\rightarrow{{/formula}} Hochpunkt.)))