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Version 1.1 von Anna Kukin am 2026/08/23 19:56
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Anna Kukin 1.1 1 (%class=abc%)
2 1. (((Wir setzen {{formula}}-x{{/formula}} in die Funktionsgleichung ein und erhalten:
3 {{formula}}\varphi(-x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}(-x)^2}= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2} = \varphi(x){{/formula}}
4 Die Glockenfunktion ist somit achsensymmetrisch zur y-Achse, da für alle {{formula}}x \in \mathbb{R}{{/formula}} gilt: {{formula}}\varphi(-x) = \varphi(x){{/formula}}.)))
5 1. (((Mithilfe der Kettenregel erhalten wir:
6 {{formula}}\varphi'(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \cdot (-x){{/formula}}
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8 Da {{formula}}\varphi'(0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}0^2} \cdot 0 = 0{{/formula}} ist, ist die notwendige Bedingung für Extrempunkte erfüllt. Nun bilden wir noch die zweite Ableitung, um zu prüfen, ob an der Stelle tatsächlich ein Hochpunkt vorliegt (alternativ: Überprüfung mit Vorzeichenwechsel).
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10 Mit der Produkt- und der Kettenregel erhalten wir:
11 {{formula}}\varphi''(x) = -\varphi(x) + (-x) \cdot (-x \cdot \varphi(x)) = (x^2 - 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}{{/formula}}
12 und damit {{formula}}\varphi''(0) = (-1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}0^2} = -\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} < 0{{/formula}} {{formula}}\rightarrow{{/formula}} Hochpunkt.)))