Lösung Nullstellen
Zuletzt geändert von Holger Engels am 2023/10/30 20:09
Welche Nullstellen besitzen die Tangenten an den Graphen der e-Funktion?
| Spezialfall \(x = 1\): | Berührpunkt \(B_1(1|e)\) mit Steigung \(m = e\) liefert Tangente: \(y = e(x – 1) + e\) | |
| Nullstelle: |
\[\begin{align*}
e(x – 1) + e &= 0 & \\
e(x – 1) &= - e &| : 1 \\
x – 1 &= - 1 &| + 1
\end{align*}\]
\[\Rightarrow x_1 = 0\] | |
| Spezialfall \(x = 2\): | Berührpunkt \(B_2(2|e^2)\) mit Steigung \(m = e^2\) liefert Tangente: \(y = e^2(x – 2) + e^2\) | |
| Nullstelle: |
\[\begin{align*}
e^2(x – 2) + e^2 &= 0 & \\
e^2(x – 2) &= - e^2 &| : 1 \\
x – 2 &= - 1 &| + 2
\end{align*}\]
\[\Rightarrow x_2 = 1\] | |
| Vermutung: \(x_n = n – 1\) | ||
| Nachweis: | Berührpunkt \(B_n(n|e^n)\) mit Steigung \(m = e^n\) liefert Tangente: \(y = e^n(x – n) + e^n\) | |
| Nullstelle: |
\[\begin{align*}
e^n(x – n) + e^n &= 0 & \\
e^n(x – n) &= - e^n &| : 1 \\
x – n &= - 1 &| + n
\end{align*}\]
\[\Rightarrow x^n = n – 1\] | |