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Version 5.1 von Simone Schuetze am 2026/04/30 10:07
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1 Es wird ohne Zurücklegen gezogen.
2 Ein Kartendeck hat 52 Karten, davon jeweils 13 Herz, Karo, Pik und Kreuz.
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4 a) //Hinweis: Ein Baumdiagramm für das Ziehen der Karten ohne Zurücklegen ist zwar nicht gefordert, hilft aber bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten//
5 [[image:BaumdiagrammE.png||width=700]]
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7 (% class="border" %)
8 |Ergebnis|2 Herz|1 Herz und 1 Karo|1 Karo und 1 Pik|alle anderen Kombinationen
9 |Gewinn|5 €|3 €|-2 €|0 €
10 |Wahrscheinlichkeit|{{formula}}\frac{13}{52}\cdot\frac{12}{51}=\frac{156}{2652}{{/formula}}|{{formula}}2\cdot\frac{13}{52}\cdot\frac{13}{51}=\frac{338}{2652}{{/formula}}|{{formula}}2\cdot\frac{13}{52}\cdot\frac{13}{51}=\frac{338}{2652}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1820}{2652}{{/formula}}|
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12 b) Erwartungswert berechnen
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14 {{formula}}E(X)=5\cdot\frac{156}{2652}+3\cdot\frac{338}{2652}+(-2)\cdot\frac{338}{2652}+0\cdot\frac{1820}{2652}{{/formula}}
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16 {{formula}}E(X)=\frac{780}{2652}+\frac{1014}{2652}-\frac{676}{2652}{{/formula}}
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18 {{formula}}E(X)=\frac{1118}{2652}\approx0{,}42{{/formula}}
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20 Deutung
21 Der Spieler gewinnt auf lange Sicht im Durchschnitt etwa 0,42 € pro Spiel.
22 Das Spiel ist also nicht fair, da der Erwartungswert größer als {{formula}}0{{/formula}} ist.
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24 c) Regeländerung für ein faires Spiel
25 Hier sind verschiedene Lösungen möglich. Man kann z.B. sowohl den Einsatz als auch die Auszahlung verändern.
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27 Der Spieler muss pro Spiel einen Einsatz von etwa 0,42 € bezahlen.
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29 Dann gilt:
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31 {{formula}}0{,}42-0{,}42=0{{/formula}}
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33 Damit gewinnt oder verliert der Spieler langfristig im Durchschnitt nichts. Das Spiel ist dann fair.