Wiki-Quellcode von Lösung Faire Auszahlung gesucht
Version 4.1 von Simone Schuetze am 2026/04/30 11:44
Verstecke letzte Bearbeiter
| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
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1.1 | 1 | a) |
| 2 | |||
| 3 | //Hinweis//Ein Baumdiagramm und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sind nicht gefordert, können aber helfen, die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse übersichtlich zu bestimmen. | ||
| 4 | [[image:BaumdiagrammE2.png||width=600]] | ||
| 5 | |||
| 6 | Wahrscheinlichkeitsverteilung | ||
| 7 | |||
| 8 | (% class="border" %) | ||
| 9 | |Ereignis|zwei rote Kugeln|eine rote und eine blaue Kugel|alle anderen Ergebnisse | ||
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4.1 | 10 | |Gewinn|4 €-1 €=3 €|2 €-1 €=1 €|0 €-1 €=-1 € |
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1.1 | 11 | |Wahrscheinlichkeit|{{formula}}\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}{{/formula}}|{{formula}}\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}+\frac{2}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}{{/formula}}|{{formula}}1-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=\frac{2}{5}{{/formula}} |
| 12 | |||
| 13 | **Erwartungswert** | ||
| 14 | |||
| 15 | {{formula}}E(X)=3\cdot\frac{1}{5}+1\cdot\frac{2}{5}+(-1)\cdot\frac{2}{5}{{/formula}} | ||
| 16 | |||
| 17 | {{formula}}E(X)=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}=0{,}6{{/formula}} | ||
| 18 | |||
| 19 | Begründung | ||
| 20 | |||
| 21 | Das Spiel ist nicht fair, da der Erwartungswert nicht {{formula}}0{{/formula}} ist. | ||
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4.1 | 22 | Du gewinnst langfristig im Durchschnitt 0,6 € pro Spiel. |
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1.1 | 23 | |
| 24 | b) | ||
| 25 | |||
| 26 | Sei {{formula}}a{{/formula}} die neue Auszahlung bei zwei roten Kugeln. | ||
| 27 | |||
| 28 | Neue Wahrscheinlichkeitsverteilung | ||
| 29 | |||
| 30 | (% class="border" %) | ||
| 31 | |Ereignis|zwei rote Kugeln|eine rote und eine blaue Kugel|alle anderen Ergebnisse | ||
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4.1 | 32 | |Gewinn|{{formula}}a-1{{/formula}}|1 €|1 e |
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1.1 | 33 | |Wahrscheinlichkeit|{{formula}}\frac{1}{5}{{/formula}}|{{formula}}\frac{2}{5}{{/formula}}|{{formula}}\frac{2}{5}{{/formula}} |
| 34 | |||
| 35 | Bedingung für ein faires Spiel | ||
| 36 | |||
| 37 | {{formula}}E(X)=0{{/formula}} | ||
| 38 | |||
| 39 | {{formula}}(a-1)\cdot\frac{1}{5}+1\cdot\frac{2}{5}+(-1)\cdot\frac{2}{5}=0{{/formula}} | ||
| 40 | |||
| 41 | Gleichung lösen | ||
| 42 | |||
| 43 | {{formula}}\frac{a-1}{5}+\frac{2}{5}-\frac{2}{5}=0{{/formula}} | ||
| 44 | |||
| 45 | {{formula}}\frac{a-1}{5}=0{{/formula}} | ||
| 46 | |||
| 47 | {{formula}}a-1=0{{/formula}} | ||
| 48 | |||
| 49 | {{formula}}a=1{{/formula}} | ||
| 50 | |||
| 51 | Deutung | ||
| 52 | |||
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4.1 | 53 | Die Auszahlung für „zwei rote Kugeln“ muss auf 1 € geändert werden. |
| 54 | Dann ist der durchschnittliche Gewinn 0 €, also ist das Spiel fair. |