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Version 1.1 von Martin Rathgeb am 2026/02/03 14:05
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Martin Rathgeb 1.1 1 (%class=ml%)
2 === ML zu a) ===
3 Gleichheiten, die für alle {{formula}}a,b{{/formula}} und Exponenten {{formula}}m,n{{/formula}} gelten:
4
5 * {{formula}}(1)=(2){{/formula}}, also {{formula}}a^n\cdot a^m = a^{n+m}{{/formula}}
6
7 * {{formula}}(3)=(4){{/formula}}, also {{formula}}a^n\cdot b^n = (ab)^n{{/formula}}
8
9 * {{formula}}(3)=(6){{/formula}}, also {{formula}}a^n\cdot b^n = b^n\cdot a^n{{/formula}}
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11 Daraus folgt auch {{formula}}(4)=(6){{/formula}} (weil beide zu (3) gleich sind).
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13 === ML zu b) ===
14 Begründungen mit „Potenz = Produkt gleicher Faktoren“:
15
16 * {{formula}}a^n\cdot a^m = a^{n+m}{{/formula}}
17 {{formula}}a^n{{/formula}} bedeutet „{{formula}}n{{/formula}}-mal den Faktor {{formula}}a{{/formula}}“, {{formula}}a^m{{/formula}} bedeutet „{{formula}}m{{/formula}}-mal den Faktor {{formula}}a{{/formula}}“.
18 Im Produkt stehen insgesamt {{formula}}n+m{{/formula}} Faktoren {{formula}}a{{/formula}} ⇒ {{formula}}a^{n+m}{{/formula}}.
19
20 * {{formula}}a^n\cdot b^n = (ab)^n{{/formula}}
21 {{formula}}a^n\cdot b^n{{/formula}} enthält {{formula}}n{{/formula}} Faktoren {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} Faktoren {{formula}}b{{/formula}}.
22 Man kann die Faktoren so umordnen, dass {{formula}}(ab){{/formula}} als Block {{formula}}n{{/formula}}-mal erscheint:
23 {{formula}}a\cdot b\cdot a\cdot b\cdots a\cdot b = (ab)^n{{/formula}}.
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25 * {{formula}}a^n\cdot b^n = b^n\cdot a^n{{/formula}}
26 Beide Produkte enthalten dieselben Faktoren ({{formula}}n{{/formula}}-mal {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}}-mal {{formula}}b{{/formula}}); die Reihenfolge der Faktoren ist beim Multiplizieren egal.
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28 === ML zu c) ===
29 Ja: {{formula}}(5)\;a^m\cdot b^n{{/formula}} passt im Allgemeinen zu keinem anderen Term.
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31 Begründung allgemein:
32 * Für {{formula}}a^m\cdot b^n{{/formula}} sind weder die Basen gleich (wie bei (1)) noch die Exponenten gleich (wie bei (3)).
33 * Ohne Zusatzbedingung (z. B. {{formula}}m=n{{/formula}} oder {{formula}}a=b{{/formula}}) lässt sich der Term nicht zu {{formula}}a^{m+n}{{/formula}} oder {{formula}}(ab)^n{{/formula}} umformen.
34 Also hat (5) **unabhängig von der Wahl** der Größen keinen festen Partner.
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36 === ML zu d) ===
37 Aussage: „Beim Multiplizieren von Potenzen kann man die Exponenten immer addieren.“
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39 **Fall, in dem die Aussage gilt:**
40 {{formula}}a^n\cdot a^m = a^{n+m}{{/formula}} (gleiche Basis)
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42 **Fall, in dem die Aussage nicht gilt:**
43 {{formula}}a^n\cdot b^n \neq a^{n+n}{{/formula}} (im Allgemeinen), denn links kommen Faktoren {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}b{{/formula}} vor, rechts nur {{formula}}a{{/formula}}.
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45 Korrektur: Exponenten addieren darf man **nur bei gleicher Basis**; bei gleichem Exponenten gilt stattdessen {{formula}}a^n\cdot b^n=(ab)^n{{/formula}}.
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