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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -5,7 +5,7 @@
5 5  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen in Normdarstellung angeben.
6 6  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen aus dem Makro- oder Mikrozahlenbereich als Zehnerpotenzen darstellen.
7 7  
8 -== Potenz als Schreibweise ==
8 +== Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==
9 9  
10 10  {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
11 11  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -28,58 +28,103 @@
28 28  
29 29  {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
30 30  (% style="list-style: alphastyle" %)
31 -1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} eine Quadratzahl ist.
32 - Begründe deine Entscheidung mithilfe einer geeigneten Darstellung als Potenz von Potenzen.
33 -1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist.
34 - Begründe deine Entscheidung.
31 +1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
32 +1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
35 35  {{/aufgabe}}
36 36  
37 -== Potenz mit negativen Exponenten ==
35 +== Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
38 38  
37 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
38 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
39 +| 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
40 +(% style="list-style: alphastyle" %)
41 +1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
42 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
43 +1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
44 +1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
45 +{{/aufgabe}}
46 +
39 39  {{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
40 -Bestimme die fehlenden Zahlen in den Lücken:
48 +Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
41 41  | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
42 42  | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
43 43  {{/aufgabe}}
44 44  
45 -{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
53 +{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
46 46  Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
47 47  (% style="list-style: alphastyle" %)
48 48  1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
49 49  1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
50 50  1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
51 -1. {{formula}}27^{-\frac{1}{3}} {{/formula}}
52 52  {{/aufgabe}}
53 53  
54 54  {{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
55 -Nenne die Potenzschreibweise von {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}}.
62 +Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
56 56  {{/aufgabe}}
57 57  
58 -{{aufgabe id="Aussage zu rationalen Exponenten begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="5"}}
59 -Ein Schüler behauptet: //„{{formula}}x^{-1}{{/formula}} ist dasselbe wie {{formula}}-x{{/formula}}.“//
65 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
66 +Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
67 +S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
68 +S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
69 +S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
70 +S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.
71 +S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.
72 +S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.
60 60  
61 -a) Untersuche, ob diese Aussage für alle Zahlen wahr ist.
62 -Begründe deine Entscheidung mithilfe eines geeigneten Beispiels oder Gegenbeispiels.
74 +(% style="list-style: alphastyle" %)
75 +1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
76 +1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
77 +1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
78 +1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
79 +{{/aufgabe}}
63 63  
64 -b) Erläutere, warum der Term {{formula}}0^{-1}{{/formula}} nicht definiert ist.
81 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
82 +Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
83 +G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
84 +G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
85 +G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
65 65  
87 +(% style="list-style: alphastyle" %)
88 +1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
89 +1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
90 +1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
66 66  {{/aufgabe}}
67 67  
68 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
69 -Führe fort ..
93 +== Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
70 70  
71 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
72 -| 16 | 4 | 2 | | | |
95 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
96 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
97 +| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
98 +
99 +(% style="list-style: alphastyle" %)
100 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
101 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
102 +1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
103 +1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
73 73  {{/aufgabe}}
74 74  
106 +{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
107 +Gegeben sind die Gleichungen:
108 +{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
109 +(% style="list-style: alphastyle" %)
110 +1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
111 +1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
112 +1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
113 +{{/aufgabe}}
75 75  
76 -{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
115 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
116 +Ergänze die Wertetabelle:
117 +
118 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
119 +| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
120 +{{/aufgabe}}
121 +
122 +{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
77 77  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
78 78  (% style="list-style: alphastyle" %)
79 79  1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
80 80  1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
81 81  1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
82 -1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
83 83  {{/aufgabe}}
84 84  
85 85  {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -90,7 +90,40 @@
90 90  1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
91 91  {{/aufgabe}}
92 92  
93 -{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
138 +== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
139 +
140 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
141 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
142 +| 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
143 +
144 +(% style="list-style: alphastyle" %)
145 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
146 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
147 +1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
148 +1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
149 +{{/aufgabe}}
150 +
151 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
152 +Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
153 +{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
154 +
155 +(% style="list-style: alphastyle" %)
156 +1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
157 +1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
158 +1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
159 +1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
160 +{{/aufgabe}}
161 +
162 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
163 +Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}.
164 +
165 +(% style="list-style: alphastyle" %)
166 +1. Berechne:
167 + {{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
168 +1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an.
169 +{{/aufgabe}}
170 +
171 +{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
94 94  Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
95 95  (% style="list-style: alphastyle" %)
96 96  1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
... ... @@ -99,6 +99,8 @@
99 99  1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
100 100  {{/aufgabe}}
101 101  
180 +== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
181 +
102 102  {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
103 103  Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
104 104  
... ... @@ -120,16 +120,6 @@
120 120  1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
121 121  {{/aufgabe}}
122 122  
123 -
124 -{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
125 -(% class="abc" %)
126 -1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
127 -[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
128 -1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
129 -[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
130 -[[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
131 -{{/aufgabe}}
132 -
133 133  {{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
134 134  Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
135 135  
... ... @@ -143,4 +143,13 @@
143 143  1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
144 144  {{/aufgabe}}
145 145  
216 +{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
217 +(% class="abc" %)
218 +1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
219 +[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
220 +1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
221 +[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
222 +[[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
223 +{{/aufgabe}}
224 +
146 146  {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}