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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -34,71 +34,93 @@
34 34  
35 35  == Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
36 36  
37 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Zuordnung begründen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="3" quelle="nach Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
38 -Gegeben ist die folgende Zahlenfolge:
39 -
40 -| 8 | 4 | 2 | 1 | {{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} | {{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}} |
41 -
42 -Außerdem sind die ersten vier Werte wie folgt dargestellt:
43 -{{formula}}8 = 2^3,\quad 4 = 2^2,\quad 2 = 2^1,\quad 1 = 2^0{{/formula}}
44 -
37 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
38 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
39 +| 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
45 45  (% style="list-style: alphastyle" %)
46 -1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge.
47 -
48 -1. Ergänze eine passende Potenzschreibweise für die beiden letzten Zahlen.
49 -
50 -1. Erläutere, warum deine Fortsetzung der Exponenten sinnvoll zur Zahlenfolge passt.
41 +1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
42 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
43 +1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
44 +1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
51 51  {{/aufgabe}}
52 52  
53 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Fortsetzung begründen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="3" quelle="nach Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
54 -Gegeben ist die folgende Wertetabelle:
55 -
56 -| {{formula}}3^3{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{\square}{{/formula}} | {{formula}}3^{\square}{{/formula}} |
57 -| 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
58 -
59 -(% style="list-style: alphastyle" %)
60 -1. Ergänze die Tabelle so, dass das Muster von links nach rechts sinnvoll fortgesetzt wird.
61 -1. Beschreibe das entstehende Muster.
62 -1. Bestimme die fehlenden Exponenten und begründe, warum diese Fortsetzung sinnvoll ist.
63 -{{/aufgabe}}
64 -
65 65  {{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
66 -Bestimme die fehlenden Zahlen in den Lücken:
48 +Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
67 67  | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
68 68  | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
69 69  {{/aufgabe}}
70 70  
71 -{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
53 +{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
72 72  Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
73 73  (% style="list-style: alphastyle" %)
74 74  1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
75 75  1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
76 76  1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
77 -1. {{formula}}27^{-\frac{1}{3}} {{/formula}}
78 78  {{/aufgabe}}
79 79  
80 80  {{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
81 -Nenne die Potenzschreibweise von {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}}.
62 +Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
82 82  {{/aufgabe}}
83 83  
84 -{{aufgabe id="Aussage zu rationalen Exponenten begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="5"}}
85 -Ein Schüler behauptet: //„{{formula}}x^{-1}{{/formula}} ist dasselbe wie {{formula}}-x{{/formula}}.“//
65 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
66 +Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
67 +S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
68 +S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
69 +S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
70 +S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.
71 +S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.
72 +S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.
73 +
86 86  (% style="list-style: alphastyle" %)
87 -1. Untersuche, ob diese Aussage für alle Zahlen wahr ist.
88 -Begründe deine Entscheidung mithilfe eines geeigneten Beispiels oder Gegenbeispiels.
89 -1. Erläutere, warum der Term {{formula}}0^{-1}{{/formula}} nicht definiert ist.
75 +1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
76 +1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
77 +1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
78 +1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
90 90  {{/aufgabe}}
91 91  
81 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
82 +Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
83 +G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
84 +G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
85 +G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
86 +
87 +(% style="list-style: alphastyle" %)
88 +1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
89 +1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
90 +1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
91 +{{/aufgabe}}
92 +
92 92  == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
93 93  
94 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
95 -Führe fort ..
95 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
96 +Gegeben ist folgender Zusammenhang:
96 96  
97 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
98 -| 16 | 4 | 2 | | | |
98 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
99 +| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
100 +
101 +(% style="list-style: alphastyle" %)
102 +1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
103 +1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
104 +1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
105 +1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} zu schreiben.
99 99  {{/aufgabe}}
100 100  
108 +{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
109 +Gegeben sind die Gleichungen:
110 +{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
111 +(% style="list-style: alphastyle" %)
112 +1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
113 +1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
114 +1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
115 +{{/aufgabe}}
101 101  
117 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
118 +Ergänze die Wertetabelle:
119 +
120 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
121 +| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
122 +{/aufgabe}}
123 +
102 102  {{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
103 103  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
104 104  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -105,7 +105,6 @@
105 105  1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
106 106  1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
107 107  1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
108 -1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
109 109  {{/aufgabe}}
110 110  
111 111  {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -115,8 +115,44 @@
115 115  1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}
116 116  1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
117 117  {{/aufgabe}}
139 +{{/aufgabe}}
118 118  
119 -{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
141 +== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
142 +
143 +{{aufgabe id="Potenzen mit rationalen Exponenten – Struktur aufbauen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
144 +Gegeben ist folgender Zusammenhang:
145 +
146 +| {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{3}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
147 +| 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
148 +
149 +(% style="list-style: alphastyle" %)
150 +1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
151 +1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
152 +1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
153 +1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} zu schreiben.
154 +{{/aufgabe}}
155 +
156 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
157 +Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
158 +{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
159 +
160 +(% style="list-style: alphastyle" %)
161 +1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
162 +1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
163 +1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
164 +1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
165 +{{/aufgabe}}
166 +
167 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
168 +Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}.
169 +
170 +(% style="list-style: alphastyle" %)
171 +1. Berechne:
172 + {{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
173 +1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an.
174 +{{/aufgabe}}
175 +
176 +{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
120 120  Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
121 121  (% style="list-style: alphastyle" %)
122 122  1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
... ... @@ -125,21 +125,6 @@
125 125  1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
126 126  {{/aufgabe}}
127 127  
128 -== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
129 -
130 -{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
131 -Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
132 -
133 -(% class="abc" %)
134 -1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
135 -1. in Prozent
136 -1. als vollständig gekürzter Bruch
137 -1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
138 -1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
139 -1. als Zahl in Normdarstellung)))
140 -1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
141 -{{/aufgabe}}
142 -
143 143  == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
144 144  
145 145  {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
... ... @@ -163,7 +163,19 @@
163 163  1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
164 164  {{/aufgabe}}
165 165  
208 +{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
209 +Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
166 166  
211 +(% class="abc" %)
212 +1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
213 +1. in Prozent
214 +1. als vollständig gekürzter Bruch
215 +1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
216 +1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
217 +1. als Zahl in Normdarstellung)))
218 +1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
219 +{{/aufgabe}}
220 +
167 167  {{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
168 168  (% class="abc" %)
169 169  1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.