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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -62,10 +62,8 @@
62 62  Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
63 63  {{/aufgabe}}
64 64  
65 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="5" quelle="nach eigener Skizze" cc="BY-SA"}}
66 -Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar.
67 -
68 -Sie machen folgende Angaben:
65 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
66 +Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
69 69  S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
70 70  S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
71 71  S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
... ... @@ -76,28 +76,53 @@
76 76  (% style="list-style: alphastyle" %)
77 77  1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
78 78  1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
79 -1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich Basis und Exponent verändern, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
80 -1. Finde eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, die sich in ihrer Struktur von den bisherigen unterscheidet.
77 +1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
78 +1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
81 81  {{/aufgabe}}
82 82  
83 -{{aufgabe id="Aussage zu negativen Exponenten begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="5"}}
84 -Ein Schüler behauptet: //„{{formula}}x^{-1}{{/formula}} ist dasselbe wie {{formula}}-x{{/formula}}.“//
81 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
82 +Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
83 +G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
84 +G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
85 +G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
86 +
85 85  (% style="list-style: alphastyle" %)
86 -1. Untersuche, ob diese Aussage für alle Zahlen wahr ist.
87 -Begründe deine Entscheidung mithilfe eines geeigneten Beispiels oder Gegenbeispiels.
88 -1. Erläutere, warum der Term {{formula}}0^{-1}{{/formula}} nicht definiert ist.
88 +1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
89 +1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
90 +1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
89 89  {{/aufgabe}}
90 90  
91 91  == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
92 92  
93 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
94 -Führe fort ..
95 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
96 +Gegeben ist folgender Zusammenhang:
95 95  
96 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
97 -| 16 | 4 | 2 | | | |
98 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
99 +| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
100 +
101 +(% style="list-style: alphastyle" %)
102 +1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
103 +1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
104 +1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
105 +1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} zu schreiben.
98 98  {{/aufgabe}}
99 99  
108 +{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
109 +Gegeben sind die Gleichungen:
110 +{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
111 +(% style="list-style: alphastyle" %)
112 +1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
113 +1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
114 +1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
115 +{{/aufgabe}}
100 100  
117 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
118 +Ergänze die Wertetabelle:
119 +
120 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
121 +| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
122 +{/aufgabe}}
123 +
101 101  {{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
102 102  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
103 103  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -104,7 +104,6 @@
104 104  1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
105 105  1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
106 106  1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
107 -1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
108 108  {{/aufgabe}}
109 109  
110 110  {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -114,7 +114,23 @@
114 114  1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}
115 115  1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
116 116  {{/aufgabe}}
139 +{{/aufgabe}}
117 117  
141 +== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
142 +
143 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen der Form m/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
144 +Gegeben ist folgender Zusammenhang:
145 +
146 +| {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{3}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
147 +| 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
148 +
149 +(% style="list-style: alphastyle" %)
150 +1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
151 +1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
152 +1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
153 +1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} zu schreiben.
154 +{{/aufgabe}}
155 +
118 118  {{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
119 119  Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
120 120  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -124,19 +124,15 @@
124 124  1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
125 125  {{/aufgabe}}
126 126  
127 -== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
165 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K4" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
166 +Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
167 +{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
128 128  
129 -{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
130 -Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
131 -
132 -(% class="abc" %)
133 -1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
134 -1. in Prozent
135 -1. als vollständig gekürzter Bruch
136 -1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
137 -1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
138 -1. als Zahl in Normdarstellung)))
139 -1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
169 +(% style="list-style: alphastyle" %)
170 +1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
171 +1. Untersuche weitere Beispiele eigener Wahl (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
172 +1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
173 +1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
140 140  {{/aufgabe}}
141 141  
142 142  == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
... ... @@ -162,7 +162,19 @@
162 162  1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
163 163  {{/aufgabe}}
164 164  
199 +{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
200 +Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
165 165  
202 +(% class="abc" %)
203 +1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
204 +1. in Prozent
205 +1. als vollständig gekürzter Bruch
206 +1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
207 +1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
208 +1. als Zahl in Normdarstellung)))
209 +1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
210 +{{/aufgabe}}
211 +
166 166  {{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
167 167  (% class="abc" %)
168 168  1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.