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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -37,6 +37,7 @@
37 37  {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
38 38  Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
39 39  | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
40 +
40 40  (% style="list-style: alphastyle" %)
41 41  1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
42 42  1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
... ... @@ -62,10 +62,8 @@
62 62  Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
63 63  {{/aufgabe}}
64 64  
65 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="5" quelle="nach eigener Skizze" cc="BY-SA"}}
66 -Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar.
67 -
68 -Sie machen folgende Angaben:
66 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
67 +Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
69 69  S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
70 70  S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
71 71  S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
... ... @@ -76,35 +76,59 @@
76 76  (% style="list-style: alphastyle" %)
77 77  1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
78 78  1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
79 -1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich Basis und Exponent verändern, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
80 -1. Finde eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, die sich in ihrer Struktur von den bisherigen unterscheidet.
78 +1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
79 +1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
81 81  {{/aufgabe}}
82 82  
83 -{{aufgabe id="Aussage zu negativen Exponenten begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="5"}}
84 -Ein Schüler behauptet: //„{{formula}}x^{-1}{{/formula}} ist dasselbe wie {{formula}}-x{{/formula}}.“//
82 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
83 +Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
84 +G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
85 +G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
86 +G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
87 +
85 85  (% style="list-style: alphastyle" %)
86 -1. Untersuche, ob diese Aussage für alle Zahlen wahr ist.
87 -Begründe deine Entscheidung mithilfe eines geeigneten Beispiels oder Gegenbeispiels.
88 -1. Erläutere, warum der Term {{formula}}0^{-1}{{/formula}} nicht definiert ist.
89 +1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
90 +1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
91 +1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
89 89  {{/aufgabe}}
90 90  
91 91  == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
92 92  
93 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
94 -Führe fort ..
96 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
97 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
98 +| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} |
95 95  
96 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
97 -| 16 | 4 | 2 | | | |
100 +(% style="list-style: alphastyle" %)
101 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
102 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
103 +1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
104 +1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten //k// der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
98 98  {{/aufgabe}}
99 99  
107 +{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
108 +Gegeben sind die Gleichungen:
100 100  
101 -{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
110 +{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
111 +
112 +(% style="list-style: alphastyle" %)
113 +1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
114 +1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
115 +1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
116 +{{/aufgabe}}
117 +
118 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
119 +Ergänze die Wertetabelle:
120 +
121 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
122 +| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
123 +{{/aufgabe}}
124 +
125 +{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
102 102  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
103 103  (% style="list-style: alphastyle" %)
104 104  1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
105 105  1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
106 106  1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
107 -1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
108 108  {{/aufgabe}}
109 109  
110 110  {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -115,7 +115,40 @@
115 115  1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
116 116  {{/aufgabe}}
117 117  
118 -{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
141 +== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
142 +
143 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
144 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
145 +| {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} |
146 +
147 +(% style="list-style: alphastyle" %)
148 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
149 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
150 +1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
151 +1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
152 +{{/aufgabe}}
153 +
154 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
155 +Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
156 +{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
157 +
158 +(% style="list-style: alphastyle" %)
159 +1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
160 +1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
161 +1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
162 +1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
163 +{{/aufgabe}}
164 +
165 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
166 +Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}}.
167 +
168 +(% style="list-style: alphastyle" %)
169 +1. {{formula}}16^{\frac{3}{2}}{{/formula}}
170 +1. {{formula}}27^{\frac{2}{3}}{{/formula}}
171 +1. {{formula}}81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
172 +{{/aufgabe}}
173 +
174 +{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
119 119  Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
120 120  (% style="list-style: alphastyle" %)
121 121  1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
... ... @@ -124,32 +124,72 @@
124 124  1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
125 125  {{/aufgabe}}
126 126  
127 -== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
183 +== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
128 128  
129 -{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
130 -Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
185 +{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Muster erkennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
186 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
131 131  
132 -(% class="abc" %)
133 -1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
134 -1. in Prozent
135 -1. als vollständig gekürzter Bruch
136 -1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
137 -1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
138 -1. als Zahl in Normdarstellung)))
139 -1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
188 +| 10000 | 1000 | 100 | 10 | 1 |
189 +
190 +(% style="list-style: alphastyle" %)
191 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}10^n{{/formula}} dar.
192 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
193 +1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
194 +1. Erläutere, warum Zehnerpotenzen besonders geeignet sind, um sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen.
140 140  {{/aufgabe}}
141 141  
142 -== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
197 +{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Größen vergleichen und einschätzen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
198 +Gegeben sind folgende vier Maßzahlen von Größenwerten:
143 143  
144 -{{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
200 +{{formula}}3 \cdot 10^5,\quad 7 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}2 \cdot 10^2,\quad 9 \cdot 10^{-5}{{/formula}}
201 +
202 +(% style="list-style: alphastyle" %)
203 +1. Ordne die Maßzahlen der Größe nach (von klein nach groß).
204 +1. Begründe deine Ordnung, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen.
205 +1. Eine Schülerin behauptet: //„{{formula}}9 \cdot 10^{-5}{{/formula}} ist größer als {{formula}}7 \cdot 10^{-3}{{/formula}}, weil 9 größer als 7 ist.“//
206 +Nimm Stellung zu dieser Aussage und erläutere den Denkfehler.
207 +1. Beschreibe eine Strategie, mit der man Maßzahlen der Form {{formula}}\pm a \cdot 10^n{{/formula}} mit {{formula}}1\le a < 10{{/formula}} schnell vergleichen kann.
208 +{{/aufgabe}}
209 +
210 +{{aufgabe id="Normdarstellung – Notwendigkeit erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
211 +Gegeben sind die folgenden Darstellungen derselben Zahl:
212 +
213 +{{formula}}0{,}00045,\quad 4{,}5 \cdot 10^{-4},\quad 45 \cdot 10^{-5},\quad 0{,}45 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
214 +
215 +(% style="list-style: alphastyle" %)
216 +1. Überprüfe, dass alle Darstellungen denselben Wert beschreiben.
217 +1. Vergleiche die Darstellungen hinsichtlich ihrer Übersichtlichkeit und Lesbarkeit.
218 +1. Beschreibe, welche Eigenschaft die Darstellung {{formula}}4{,}5 \cdot 10^{-4}{{/formula}} von den anderen unterscheidet.
219 +1. Erläutere, warum man Zahlen üblicherweise in der sogenannten Normdarstellung angibt.
220 +{{/aufgabe}}
221 +
222 +{{aufgabe id="Normdarstellung – Fehler erkennen und korrigieren" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
223 +Gegeben sind Vorschläge von Schülerinnen und Schülern zur Normdarstellung.
224 +
225 +(% style="list-style: alphastyle" %)
226 +1. Prüfe die folgenden Darstellungen. Entscheide jeweils, ob es sich um eine korrekte Normdarstellung handelt. Begründe und korrigiere falsche Darstellungen.
227 + {{formula}}0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
228 + {{formula}}0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}{{/formula}}
229 + {{formula}}4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}{{/formula}}
230 + {{formula}}4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}{{/formula}}
231 +1. (((Ordne die fehlerhaften Darstellungen einer der folgenden Fehlerarten zu:
232 + * falscher Exponent
233 + * Mantisse nicht im Intervall {{formula}}1 \le a < 10{{/formula}}
234 + * Dezimalverschiebung inkonsistent
235 +)))
236 +1. Formuliere die Bedingungen für eine Normdarstellung der Form {{formula}}a \cdot 10^n{{/formula}}.
237 +1. Gib zu {{formula}}0{,}00072{{/formula}} zwei verschiedene Darstellungen an und kennzeichne diejenige, die eine Normdarstellung ist.
238 +{{/aufgabe}}
239 +
240 +{{aufgabe id="Normdarstellung prüfen und benennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
145 145  Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
146 146  
147 147  (% class="abc" %)
148 -1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
149 -1. Nenne die Namen der Zahlen.
244 +1. Prüfe, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind, und korrigiere sie gegebenenfalls.
245 +1. Gib die zugehörigen Zahlennamen an.
150 150  {{/aufgabe}}
151 151  
152 -{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
248 +{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="4"}}
153 153  Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
154 154  
155 155  Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
... ... @@ -158,14 +158,13 @@
158 158  Dicke eines menschlichen Haares
159 159  
160 160  (% class="abc" %)
161 -1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
257 +1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und begründe ihre Zuordnung zu den Beispielen.
162 162  1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
163 163  {{/aufgabe}}
164 164  
165 -
166 -{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
261 +{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
167 167  (% class="abc" %)
168 -1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
263 +1. Gib die Ergebnisse in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
169 169  [[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
170 170  1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
171 171  [[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
... ... @@ -172,4 +172,13 @@
172 172  [[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
173 173  {{/aufgabe}}
174 174  
270 +{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Darstellungen vergleichen und bewerten" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
271 +Gegeben ist die Zahl {{formula}}0{,}0004{{/formula}}.
272 +
273 +(% style="list-style: alphastyle" %)
274 +1. Stelle die Zahl als Zehnerpotenz und in Normdarstellung dar.
275 +1. Gib eine weitere Darstellung mit negativem Exponenten an.
276 +1. Vergleiche die Darstellungen und erläutere, welche Vorteile die Normdarstellung im Vergleich zur Dezimalschreibweise hat.
277 +{{/aufgabe}}
278 +
175 175  {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}