Änderungen von Dokument BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -92,29 +92,35 @@
92	92
93	93	== Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
94	94
95		-{{aufgabe id="Wurzeln und Potenzen – passende Zahlen finden" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Eigenentwicklung" cc="BY-SA"}}
96		-Gegeben sind Gleichungen der Form {{formula}}x^n = a{{/formula}}.
	95	+{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen der Form 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
	96	+Gegeben ist folgender Zusammenhang:
97	97
	98	+| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
	99	+| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
	100	+
98	98	(% style="list-style: alphastyle" %)
99		-1. Bestimme jeweils eine passende Zahl {{formula}}x{{/formula}}:
100		- {{formula}}x^2 = 9,\quad x^3 = 8,\quad x^4 = 16{{/formula}}
101		-1. Beschreibe, wie sich {{formula}}x{{/formula}} aus {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} bestimmen lässt.
102		-1. Ergänze die folgende Tabelle:
103		-| {{formula}}a{{/formula}} | 9 | 8 | 16 |
104		-| {{formula}}n{{/formula}} | 2 | 3 | 4 |
105		-| {{formula}}x{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
106		-| {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
107		-1. Erläutere, warum die Darstellung {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} eine sinnvolle Beschreibung für die gesuchten Zahlen ist.
	102	+1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
	103	+1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
	104	+1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
	105	+1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} zu schreiben.
108	108	{{/aufgabe}}
109	109
110		-{{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
111		-Führe fort ..
112		-
113		-| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
114		-| 16 | 4 | 2 | | | |
	108	+{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
	109	+Gegeben sind die Gleichungen:
	110	+{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
	111	+(% style="list-style: alphastyle" %)
	112	+1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
	113	+1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
	114	+1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
115	115	{{/aufgabe}}
116	116
	117	+{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten der Form 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
	118	+Ergänze die Wertetabelle:
117	117
	120	+| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
	121	+| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
	122	+{/aufgabe}}
	123	+
118	118	{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
119	119	Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
120	120	(% style="list-style: alphastyle" %)
...	...	@@ -121,7 +121,6 @@
121	121	1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
122	122	1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
123	123	1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
124		-1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
125	125	{{/aufgabe}}
126	126
127	127	{{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
...	...	@@ -131,7 +131,23 @@
131	131	1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}
132	132	1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
133	133	{{/aufgabe}}
	139	+{{/aufgabe}}
134	134
	141	+== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
	142	+
	143	+{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen der Form m/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
	144	+Gegeben ist folgender Zusammenhang:
	145	+
	146	+| {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{3}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
	147	+| 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
	148	+
	149	+(% style="list-style: alphastyle" %)
	150	+1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
	151	+1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
	152	+1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
	153	+1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} zu schreiben.
	154	+{{/aufgabe}}
	155	+
135	135	{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
136	136	Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
137	137	(% style="list-style: alphastyle" %)
...	...	@@ -141,19 +141,15 @@
141	141	1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
142	142	{{/aufgabe}}
143	143
144		-== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
	165	+{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K4" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
	166	+Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
	167	+{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
145	145
146		-{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
147		-Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
148		-
149		-(% class="abc" %)
150		-1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
151		-1. in Prozent
152		-1. als vollständig gekürzter Bruch
153		-1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
154		-1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
155		-1. als Zahl in Normdarstellung)))
156		-1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
	169	+(% style="list-style: alphastyle" %)
	170	+1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
	171	+1. Untersuche weitere Beispiele eigener Wahl (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
	172	+1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
	173	+1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
157	157	{{/aufgabe}}
158	158
159	159	== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==