Änderungen von Dokument BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung
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Zusammenfassung
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Details
- Seiteneigenschaften
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- Inhalt
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... ... @@ -92,36 +92,41 @@ 92 92 93 93 == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n == 94 94 95 -{{aufgabe id=" Wurzeln und Potenzen–passendeZahlenfinden" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Eigenentwicklung" cc="BY-SA"}}96 -Gegeben sindGleichungenForm {{formula}}x^n=a{{/formula}}.95 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}} 96 +Gegeben ist folgender Zusammenhang: 97 97 98 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} | 99 +| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | 100 + 98 98 (% style="list-style: alphastyle" %) 99 -1. Bestimme jeweils eine passende Zahl {{formula}}x{{/formula}}: 100 - {{formula}}x^2 = 9,\quad x^3 = 8,\quad x^4 = 16{{/formula}} 101 -1. Beschreibe, wie sich {{formula}}x{{/formula}} aus {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} bestimmen lässt. 102 -1. Ergänze die folgende Tabelle: 103 -| {{formula}}a{{/formula}} | 9 | 8 | 16 | 104 -| {{formula}}n{{/formula}} | 2 | 3 | 4 | 105 -| {{formula}}x{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | 106 -| {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | 107 -1. Erläutere, warum die Darstellung {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} eine sinnvolle Beschreibung für die gesuchten Zahlen ist. 102 +1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt. 103 +1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen. 104 +1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten. 105 +1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} zu schreiben. 108 108 {{/aufgabe}} 109 109 110 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}} 111 -Führe fort .. 112 - 113 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}} 114 -| 16 | 4 | 2 | | | | 108 +{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}} 109 +Gegeben sind die Gleichungen: 110 +{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}} 111 +(% style="list-style: alphastyle" %) 112 +1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen. 113 +1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind. 114 +1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung. 115 115 {{/aufgabe}} 116 116 117 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}} 118 +Ergänze die Wertetabelle: 117 117 118 -{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}} 120 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} | 121 +| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | 122 +{{/aufgabe}} 123 + 124 +{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}} 119 119 Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich. 120 120 (% style="list-style: alphastyle" %) 121 121 1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}} 122 122 1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} 123 123 1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}} 124 -1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}} 125 125 {{/aufgabe}} 126 126 127 127 {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}} ... ... @@ -132,7 +132,42 @@ 132 132 1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}} 133 133 {{/aufgabe}} 134 134 135 -{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}} 140 +== Potenzen mit rationalen Exponenten == 141 + 142 +{{aufgabe id="Potenzen mit rationalen Exponenten – Struktur aufbauen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}} 143 +Gegeben ist folgender Zusammenhang: 144 + 145 +| {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{3}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} | 146 +| 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | 147 + 148 +(% style="list-style: alphastyle" %) 149 +1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt. 150 +1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen. 151 +1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten. 152 +1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} zu schreiben. 153 +{{/aufgabe}} 154 + 155 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}} 156 +Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen: 157 +{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}} 158 + 159 +(% style="list-style: alphastyle" %) 160 +1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse. 161 +1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern. 162 +1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten). 163 +1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung. 164 +{{/aufgabe}} 165 + 166 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}} 167 +Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}. 168 + 169 +(% style="list-style: alphastyle" %) 170 +1. Berechne: 171 + {{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}} 172 +1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an. 173 +{{/aufgabe}} 174 + 175 +{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}} 136 136 Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken: 137 137 (% style="list-style: alphastyle" %) 138 138 1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}} ... ... @@ -141,21 +141,6 @@ 141 141 1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}} 142 142 {{/aufgabe}} 143 143 144 -== Potenzen mit rationalen Exponenten == 145 - 146 -{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}} 147 -Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}. 148 - 149 -(% class="abc" %) 150 -1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar: 151 -1. in Prozent 152 -1. als vollständig gekürzter Bruch 153 -1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}} 154 -1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele) 155 -1. als Zahl in Normdarstellung))) 156 -1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein. 157 -{{/aufgabe}} 158 - 159 159 == Zehnerpotenzen und Normdarstellung == 160 160 161 161 {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}} ... ... @@ -179,7 +179,19 @@ 179 179 1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen. 180 180 {{/aufgabe}} 181 181 207 +{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}} 208 +Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}. 182 182 210 +(% class="abc" %) 211 +1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar: 212 +1. in Prozent 213 +1. als vollständig gekürzter Bruch 214 +1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}} 215 +1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele) 216 +1. als Zahl in Normdarstellung))) 217 +1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein. 218 +{{/aufgabe}} 219 + 183 183 {{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}} 184 184 (% class="abc" %) 185 185 1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.