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Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/04/27 01:35
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -37,6 +37,7 @@
37 37  {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
38 38  Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
39 39  | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
40 +
40 40  (% style="list-style: alphastyle" %)
41 41  1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
42 42  1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
... ... @@ -75,15 +75,13 @@
75 75  1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
76 76  1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
77 77  1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
78 -1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
79 79  {{/aufgabe}}
80 80  
81 81  {{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
82 82  Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
83 -G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
84 -G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
85 -G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
86 86  
84 +{{formula}}x^{-1} = -x,\quad x^{-1} = \frac{1}{x},\quad x^{-1} = x{{/formula}}
85 +
87 87  (% style="list-style: alphastyle" %)
88 88  1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
89 89  1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
... ... @@ -92,36 +92,41 @@
92 92  
93 93  == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
94 94  
95 -{{aufgabe id="Wurzeln und Potenzen – passende Zahlen finden" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Eigenentwicklung" cc="BY-SA"}}
96 -Gegeben sind Gleichungen der Form {{formula}}x^n = a{{/formula}}.
94 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
95 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
96 +| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} |
97 97  
98 98  (% style="list-style: alphastyle" %)
99 -1. Bestimme jeweils eine passende Zahl {{formula}}x{{/formula}}:
100 - {{formula}}x^2 = 9,\quad x^3 = 8,\quad x^4 = 16{{/formula}}
101 -1. Beschreibe, wie sich {{formula}}x{{/formula}} aus {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} bestimmen lässt.
102 -1. Ergänze die folgende Tabelle:
103 -| {{formula}}a{{/formula}} | 9 | 8 | 16 |
104 -| {{formula}}n{{/formula}} | 2 | 3 | 4 |
105 -| {{formula}}x{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
106 -| {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
107 -1. Erläutere, warum die Darstellung {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} eine sinnvolle Beschreibung für die gesuchten Zahlen ist.
99 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
100 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
101 +1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
102 +1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten //k// der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
108 108  {{/aufgabe}}
109 109  
110 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
111 -Führe fort ..
105 +{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
106 +Gegeben sind die Gleichungen:
112 112  
113 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
114 -| 16 | 4 | 2 | | | |
108 +{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
109 +
110 +(% style="list-style: alphastyle" %)
111 +1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
112 +1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
113 +1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
115 115  {{/aufgabe}}
116 116  
116 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
117 +Ergänze die Wertetabelle:
117 117  
118 -{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
119 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
120 +| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
121 +{{/aufgabe}}
122 +
123 +{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
119 119  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
120 120  (% style="list-style: alphastyle" %)
121 121  1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
122 122  1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
123 123  1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
124 -1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
125 125  {{/aufgabe}}
126 126  
127 127  {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -132,7 +132,39 @@
132 132  1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
133 133  {{/aufgabe}}
134 134  
135 -{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
139 +== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
140 +
141 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
142 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
143 +| {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} |
144 +
145 +(% style="list-style: alphastyle" %)
146 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
147 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
148 +1. Ergänze die Folge nach links und rechts um je zwei Folgenglieder.
149 +1. Ordne auch den vier neuen Zahlen jeweils eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
150 +{{/aufgabe}}
151 +
152 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – eine geeignete Definition begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
153 +Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
154 +
155 + {{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
156 +
157 +(% style="list-style: alphastyle" %)
158 +1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
159 +1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
160 +1. Beurteile, welche der beiden Darstellungen sich als allgemeine Definition für a^{m/n} eignet, und begründe deine Entscheidung.
161 +{{/aufgabe}}
162 +
163 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
164 +Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}}.
165 +(% style="list-style: alphastyle" %)
166 +1. {{formula}}16^{\frac{3}{2}}{{/formula}}
167 +1. {{formula}}27^{\frac{2}{3}}{{/formula}}
168 +1. {{formula}}81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
169 +{{/aufgabe}}
170 +
171 +{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
136 136  Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
137 137  (% style="list-style: alphastyle" %)
138 138  1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
... ... @@ -141,34 +141,70 @@
141 141  1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
142 142  {{/aufgabe}}
143 143  
144 -== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
180 +== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
145 145  
146 -{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
147 -Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
182 +{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Muster erkennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
183 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
148 148  
149 -(% class="abc" %)
150 -1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
151 -1. in Prozent
152 -1. als vollständig gekürzter Bruch
153 -1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
154 -1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
155 -1. als Zahl in Normdarstellung)))
156 -1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
185 +| 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
186 +
187 +(% style="list-style: alphastyle" %)
188 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}10^n{{/formula}} dar.
189 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
190 +1. Ergänze die Folge nach rechts und nach links um je zwei weitere Glieder.
191 +1. Erläutere, warum Zehnerpotenzen besonders geeignet sind, um sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen.
157 157  {{/aufgabe}}
158 158  
159 -== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
194 +{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Größen vergleichen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
195 +Gegeben sind folgende Maßzahlen:
160 160  
161 -{{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
162 -Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
197 +{{formula}}3 \cdot 10^5,\quad 7 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}2 \cdot 10^2,\quad 9 \cdot 10^{-5}{{/formula}}
163 163  
164 -(% class="abc" %)
165 -1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
166 -1. Nenne die Namen der Zahlen.
199 +(% style="list-style: alphastyle" %)
200 +1. Ordne die Maßzahlen der Größe nach.
201 +1. Begründe deine Ordnung, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen. Gehe dabei auch auf die Behauptung ein:
202 +//„{{formula}}9 \cdot 10^{-5}{{/formula}} ist größer als {{formula}}7 \cdot 10^{-3}{{/formula}}, weil 9 größer als 7 ist.“//
203 +1. Beschreibe eine Strategie zum Vergleichen von Zahlen der Form {{formula}}\pm a \cdot 10^n{{/formula}}.
167 167  {{/aufgabe}}
168 168  
169 -{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
170 -Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
206 +{{aufgabe id="Normdarstellung – Notwendigkeit erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
207 +Gegeben sind Darstellungen derselben Zahl:
171 171  
209 +{{formula}}0{,}00045,\quad 4{,}5 \cdot 10^{-4},\quad 45 \cdot 10^{-5},\quad 0{,}45 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
210 +
211 +(% style="list-style: alphastyle" %)
212 +1. Überprüfe, dass alle Darstellungen denselben Wert beschreiben.
213 +1. Vergleiche die Darstellungen hinsichtlich ihrer Übersichtlichkeit.
214 +1. Beschreibe, wodurch sich {{formula}}4{,}5 \cdot 10^{-4}{{/formula}} von den anderen unterscheidet.
215 +1. Erläutere, warum man Zahlen in Normdarstellung angibt.
216 +{{/aufgabe}}
217 +
218 +{{aufgabe id="Normdarstellung – Fehler erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
219 +Gegeben sind Vorschläge:
220 +
221 +* {{formula}}0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
222 +* {{formula}}0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}{{/formula}}
223 +* {{formula}}4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}{{/formula}}
224 +* {{formula}}4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}{{/formula}}
225 +
226 +(% style="list-style: alphastyle" %)
227 +1. Prüfe die Darstellungen und korrigiere falsche.
228 +1. Ordne Fehlerarten zu.
229 +1. Formuliere Bedingungen für eine Normdarstellung.
230 +{{/aufgabe}}
231 +
232 +{{aufgabe id="Normdarstellung – Anwenden und interpretieren" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="kombiniert" cc="BY-SA"}}
233 +(% style="list-style: alphastyle" %)
234 +1. Prüfe, ob {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7{,}32 \cdot 10^{10}{{/formula}} Normdarstellungen sind, und korrigiere sie.
235 +1. Ordne die Zahlen {{formula}}7 \cdot 10^{-5},\ 1 \cdot 10^{2},\ 1 \cdot 10^{-10}{{/formula}} passenden Größenbeispielen zu.
236 +1. Interpretiere eine Taschenrechneranzeige in wissenschaftlicher Schreibweise.
237 +{{/aufgabe}}
238 +
239 +{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="4"}}
240 +Gegeben sind folgende Zahl(darstellung)en:
241 +
242 +{{formula}}7 \cdot 10^{-5},\quad 1 \cdot 10^{2},\quad 1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
243 +
172 172  Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
173 173  Länge eines Fußballfeldes
174 174  Durchmesser eines Atoms
... ... @@ -175,14 +175,13 @@
175 175  Dicke eines menschlichen Haares
176 176  
177 177  (% class="abc" %)
178 -1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
250 +1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und begründe ihre Zuordnung zu den Beispielen.
179 179  1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
180 180  {{/aufgabe}}
181 181  
182 -
183 -{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
254 +{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
184 184  (% class="abc" %)
185 -1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
256 +1. Gib die Ergebnisse in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
186 186  [[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
187 187  1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
188 188  [[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
XWiki.XWikiComments[1]
Autor
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +XWiki.holgerengels
Kommentar
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +gelöscht
Datum
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +2026-04-24 08:42:27.716
Antwort an
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +0