Änderungen von Dokument BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -92,6 +92,17 @@
92	92
93	93	== Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
94	94
	95	+{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
	96	+Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
	97	+| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
	98	+
	99	+(% style="list-style: alphastyle" %)
	100	+1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
	101	+1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
	102	+1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
	103	+1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
	104	+{{/aufgabe}}
	105	+
95	95	{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
96	96	Gegeben sind die Gleichungen:
97	97	{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
...	...	@@ -101,16 +101,14 @@
101	101	1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
102	102	{{/aufgabe}}
103	103
104		-{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten der Form 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
	115	+{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
105	105	Ergänze die Wertetabelle:
106	106
107	107	| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
108	108	| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
109		-
110		-Beschreibe das Muster der Exponenten.
111	111	{{/aufgabe}}
112	112
113		-{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
	122	+{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
114	114	Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
115	115	(% style="list-style: alphastyle" %)
116	116	1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
...	...	@@ -128,20 +128,40 @@
128	128
129	129	== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
130	130
131		-{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
132		-Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
	140	+{{aufgabe id="Potenzen mit rationalen Exponenten – Struktur aufbauen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
	141	+Gegeben ist folgender Zusammenhang:
133	133
134		-(% class="abc" %)
135		-1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
136		-1. in Prozent
137		-1. als vollständig gekürzter Bruch
138		-1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
139		-1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
140		-1. als Zahl in Normdarstellung)))
141		-1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
	143	+| {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{3}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
	144	+| 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
	145	+
	146	+(% style="list-style: alphastyle" %)
	147	+1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
	148	+1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
	149	+1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
	150	+1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} zu schreiben.
142	142	{{/aufgabe}}
143	143
144		-{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
	153	+{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
	154	+Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
	155	+{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
	156	+
	157	+(% style="list-style: alphastyle" %)
	158	+1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
	159	+1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
	160	+1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
	161	+1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
	162	+{{/aufgabe}}
	163	+
	164	+{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
	165	+Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}.
	166	+
	167	+(% style="list-style: alphastyle" %)
	168	+1. Berechne:
	169	+ {{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
	170	+1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an.
	171	+{{/aufgabe}}
	172	+
	173	+{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
145	145	Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
146	146	(% style="list-style: alphastyle" %)
147	147	1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
...	...	@@ -173,7 +173,19 @@
173	173	1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
174	174	{{/aufgabe}}
175	175
	205	+{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
	206	+Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
176	176
	208	+(% class="abc" %)
	209	+1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
	210	+1. in Prozent
	211	+1. als vollständig gekürzter Bruch
	212	+1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
	213	+1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
	214	+1. als Zahl in Normdarstellung)))
	215	+1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
	216	+{{/aufgabe}}
	217	+
177	177	{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
178	178	(% class="abc" %)
179	179	1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.