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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -93,16 +93,14 @@
93 93  == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
94 94  
95 95  {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
96 -Gegeben ist folgender Zusammenhang:
96 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
97 +| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
97 97  
98 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
99 -| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
100 -
101 101  (% style="list-style: alphastyle" %)
102 -1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
103 -1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
104 -1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
105 -1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} zu schreiben.
100 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
101 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
102 +1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
103 +1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
106 106  {{/aufgabe}}
107 107  
108 108  {{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -119,9 +119,9 @@
119 119  
120 120  | {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
121 121  | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
122 -{/aufgabe}}
120 +{{/aufgabe}}
123 123  
124 -{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
122 +{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
125 125  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
126 126  (% style="list-style: alphastyle" %)
127 127  1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
... ... @@ -136,43 +136,49 @@
136 136  1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}
137 137  1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
138 138  {{/aufgabe}}
139 -{{/aufgabe}}
140 140  
141 141  == Potenzen mit rationalen Exponenten ==
142 142  
143 -{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen der Form m/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
144 -Gegeben ist folgender Zusammenhang:
140 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
141 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
142 +| 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
145 145  
146 -| {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{3}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
147 -| 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
148 -
149 149  (% style="list-style: alphastyle" %)
150 -1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
151 -1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
152 -1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
153 -1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} zu schreiben.
145 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
146 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
147 +1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
148 +1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{2}{{/formula}} auftreten.
154 154  {{/aufgabe}}
155 155  
156 -{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
157 -Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
158 -(% style="list-style: alphastyle" %)
159 -1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
160 -1. {{formula}}\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}{{/formula}}
161 -1. {{formula}}\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}{{/formula}}
162 -1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
163 -{{/aufgabe}}
164 -
165 -{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K4" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
151 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
166 166  Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
167 167  {{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
168 168  
169 169  (% style="list-style: alphastyle" %)
170 170  1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
171 -1. Untersuche weitere Beispiele eigener Wahl (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
157 +1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
172 172  1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
173 173  1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
174 174  {{/aufgabe}}
175 175  
162 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
163 +Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}.
164 +
165 +(% style="list-style: alphastyle" %)
166 +1. Berechne:
167 + {{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
168 +1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an.
169 +{{/aufgabe}}
170 +
171 +{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
172 +Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
173 +(% style="list-style: alphastyle" %)
174 +1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
175 +1. {{formula}}\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}{{/formula}}
176 +1. {{formula}}\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}{{/formula}}
177 +1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
178 +{{/aufgabe}}
179 +
176 176  == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
177 177  
178 178  {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}