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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -39,94 +39,55 @@
39 39  | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
40 40  (% style="list-style: alphastyle" %)
41 41  1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
42 -1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
42 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster der Potenzdarstellung.
43 43  1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
44 44  1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
45 45  {{/aufgabe}}
46 46  
47 47  {{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
48 -Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
48 +Bestimme die fehlenden Zahlen in den Lücken:
49 49  | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
50 50  | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
51 51  {{/aufgabe}}
52 52  
53 -{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
53 +{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
54 54  Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
55 55  (% style="list-style: alphastyle" %)
56 56  1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
57 57  1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
58 58  1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
59 +1. {{formula}}27^{-\frac{1}{3}} {{/formula}}
59 59  {{/aufgabe}}
60 60  
61 61  {{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
62 -Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
63 +Nenne die Potenzschreibweise von {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}}.
63 63  {{/aufgabe}}
64 64  
65 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
66 -Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
67 -S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
68 -S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
69 -S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
70 -S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.
71 -S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.
72 -S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.
73 -
66 +{{aufgabe id="Aussage zu rationalen Exponenten begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="5"}}
67 +Ein Schüler behauptet: //„{{formula}}x^{-1}{{/formula}} ist dasselbe wie {{formula}}-x{{/formula}}.“//
74 74  (% style="list-style: alphastyle" %)
75 -1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
76 -1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
77 -1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
78 -1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
69 +1. Untersuche, ob diese Aussage für alle Zahlen wahr ist.
70 +Begründe deine Entscheidung mithilfe eines geeigneten Beispiels oder Gegenbeispiels.
71 +1. Erläutere, warum der Term {{formula}}0^{-1}{{/formula}} nicht definiert ist.
79 79  {{/aufgabe}}
80 80  
81 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
82 -Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
83 -G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
84 -G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
85 -G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
86 -
87 -(% style="list-style: alphastyle" %)
88 -1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
89 -1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
90 -1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
91 -{{/aufgabe}}
92 -
93 93  == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
94 94  
95 -{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
96 -Gegeben ist folgender Zusammenhang:
76 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
77 +Führe fort ..
97 97  
98 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
99 -| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
100 -
101 -(% style="list-style: alphastyle" %)
102 -1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
103 -1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
104 -1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
105 -1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} zu schreiben.
79 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
80 +| 16 | 4 | 2 | | | |
106 106  {{/aufgabe}}
107 107  
108 -{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
109 -Gegeben sind die Gleichungen:
110 -{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
111 -(% style="list-style: alphastyle" %)
112 -1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
113 -1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
114 -1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
115 -{{/aufgabe}}
116 116  
117 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
118 -Ergänze die Wertetabelle:
119 -
120 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
121 -| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
122 -{{/aufgabe}}
123 -
124 -{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
84 +{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
125 125  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
126 126  (% style="list-style: alphastyle" %)
127 127  1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
128 128  1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
129 129  1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
90 +1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
130 130  {{/aufgabe}}
131 131  
132 132  {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -137,42 +137,7 @@
137 137  1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
138 138  {{/aufgabe}}
139 139  
140 -== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
141 -
142 -{{aufgabe id="Potenzen mit rationalen Exponenten – Struktur aufbauen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
143 -Gegeben ist folgender Zusammenhang:
144 -
145 -| {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{3}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
146 -| 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
147 -
148 -(% style="list-style: alphastyle" %)
149 -1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
150 -1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
151 -1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
152 -1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} zu schreiben.
153 -{{/aufgabe}}
154 -
155 -{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
156 -Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
157 -{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
158 -
159 -(% style="list-style: alphastyle" %)
160 -1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
161 -1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
162 -1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
163 -1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
164 -{{/aufgabe}}
165 -
166 -{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
167 -Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}.
168 -
169 -(% style="list-style: alphastyle" %)
170 -1. Berechne:
171 - {{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
172 -1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an.
173 -{{/aufgabe}}
174 -
175 -{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
101 +{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
176 176  Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
177 177  (% style="list-style: alphastyle" %)
178 178  1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
... ... @@ -181,6 +181,21 @@
181 181  1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
182 182  {{/aufgabe}}
183 183  
110 +== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
111 +
112 +{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
113 +Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
114 +
115 +(% class="abc" %)
116 +1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
117 +1. in Prozent
118 +1. als vollständig gekürzter Bruch
119 +1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
120 +1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
121 +1. als Zahl in Normdarstellung)))
122 +1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
123 +{{/aufgabe}}
124 +
184 184  == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
185 185  
186 186  {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
... ... @@ -204,19 +204,7 @@
204 204  1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
205 205  {{/aufgabe}}
206 206  
207 -{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
208 -Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
209 209  
210 -(% class="abc" %)
211 -1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
212 -1. in Prozent
213 -1. als vollständig gekürzter Bruch
214 -1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
215 -1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
216 -1. als Zahl in Normdarstellung)))
217 -1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
218 -{{/aufgabe}}
219 -
220 220  {{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
221 221  (% class="abc" %)
222 222  1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.