Zum Inhalt springen
Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/04/27 01:35
Von Version 258.1
bearbeitet von Martin Rathgeb
am 2026/04/24 01:42
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version
Auf Version 242.1
bearbeitet von Martin Rathgeb
am 2026/04/24 00:40
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -62,7 +62,7 @@
62 62  Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
63 63  {{/aufgabe}}
64 64  
65 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
65 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="5" quelle="nach eigener Skizze" cc="BY-SA"}}
66 66  Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
67 67  S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
68 68  S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
... ... @@ -78,7 +78,7 @@
78 78  1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
79 79  {{/aufgabe}}
80 80  
81 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
81 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="4" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
82 82  Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
83 83  G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
84 84  G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
... ... @@ -92,39 +92,36 @@
92 92  
93 93  == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
94 94  
95 -{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
96 -Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
97 -| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
95 +{{aufgabe id="Wurzeln und Potenzen – passende Zahlen finden" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Eigenentwicklung" cc="BY-SA"}}
96 +Gegeben sind Gleichungen der Form {{formula}}x^n = a{{/formula}}.
98 98  
99 99  (% style="list-style: alphastyle" %)
100 -1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
101 -1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
102 -1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
103 -1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
99 +1. Bestimme jeweils eine passende Zahl {{formula}}x{{/formula}}:
100 + {{formula}}x^2 = 9,\quad x^3 = 8,\quad x^4 = 16{{/formula}}
101 +1. Beschreibe, wie sich {{formula}}x{{/formula}} aus {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} bestimmen lässt.
102 +1. Ergänze die folgende Tabelle:
103 +| {{formula}}a{{/formula}} | 9 | 8 | 16 |
104 +| {{formula}}n{{/formula}} | 2 | 3 | 4 |
105 +| {{formula}}x{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
106 +| {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
107 +1. Erläutere, warum die Darstellung {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} eine sinnvolle Beschreibung für die gesuchten Zahlen ist.
104 104  {{/aufgabe}}
105 105  
106 -{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
107 -Gegeben sind die Gleichungen:
108 -{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
109 -(% style="list-style: alphastyle" %)
110 -1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
111 -1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
112 -1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
113 -{{/aufgabe}}
110 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
111 +Führe fort ..
114 114  
115 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
116 -Ergänze die Wertetabelle:
117 -
118 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
119 -| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
113 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
114 +| 16 | 4 | 2 | | | |
120 120  {{/aufgabe}}
121 121  
122 -{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
117 +
118 +{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
123 123  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
124 124  (% style="list-style: alphastyle" %)
125 125  1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
126 126  1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
127 127  1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
124 +1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
128 128  {{/aufgabe}}
129 129  
130 130  {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -135,42 +135,7 @@
135 135  1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
136 136  {{/aufgabe}}
137 137  
138 -== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
139 -
140 -{{aufgabe id="Potenzen mit rationalen Exponenten – Struktur aufbauen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
141 -Gegeben ist folgender Zusammenhang:
142 -
143 -| {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{3}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
144 -| 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
145 -
146 -(% style="list-style: alphastyle" %)
147 -1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
148 -1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
149 -1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
150 -1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} zu schreiben.
151 -{{/aufgabe}}
152 -
153 -{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
154 -Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
155 -{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
156 -
157 -(% style="list-style: alphastyle" %)
158 -1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
159 -1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
160 -1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
161 -1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
162 -{{/aufgabe}}
163 -
164 -{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
165 -Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}.
166 -
167 -(% style="list-style: alphastyle" %)
168 -1. Berechne:
169 - {{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
170 -1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an.
171 -{{/aufgabe}}
172 -
173 -{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
135 +{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
174 174  Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
175 175  (% style="list-style: alphastyle" %)
176 176  1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
... ... @@ -179,6 +179,21 @@
179 179  1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
180 180  {{/aufgabe}}
181 181  
144 +== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
145 +
146 +{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
147 +Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
148 +
149 +(% class="abc" %)
150 +1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
151 +1. in Prozent
152 +1. als vollständig gekürzter Bruch
153 +1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
154 +1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
155 +1. als Zahl in Normdarstellung)))
156 +1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
157 +{{/aufgabe}}
158 +
182 182  == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
183 183  
184 184  {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
... ... @@ -202,19 +202,7 @@
202 202  1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
203 203  {{/aufgabe}}
204 204  
205 -{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
206 -Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
207 207  
208 -(% class="abc" %)
209 -1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
210 -1. in Prozent
211 -1. als vollständig gekürzter Bruch
212 -1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
213 -1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
214 -1. als Zahl in Normdarstellung)))
215 -1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
216 -{{/aufgabe}}
217 -
218 218  {{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
219 219  (% class="abc" %)
220 220  1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.