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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -37,6 +37,7 @@
37 37  {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
38 38  Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
39 39  | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
40 +
40 40  (% style="list-style: alphastyle" %)
41 41  1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
42 42  1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
... ... @@ -75,15 +75,13 @@
75 75  1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
76 76  1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
77 77  1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
78 -1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
79 79  {{/aufgabe}}
80 80  
81 81  {{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
82 82  Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
83 -G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
84 -G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
85 -G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
86 86  
84 +{{formula}}x^{-1} = -x,\quad x^{-1} = \frac{1}{x},\quad x^{-1} = x{{/formula}}
85 +
87 87  (% style="list-style: alphastyle" %)
88 88  1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
89 89  1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
... ... @@ -94,18 +94,20 @@
94 94  
95 95  {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
96 96  Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
97 -| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
96 +| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} |
98 98  
99 99  (% style="list-style: alphastyle" %)
100 100  1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
101 101  1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
102 -1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
103 -1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
101 +1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
102 +1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten //k// der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
104 104  {{/aufgabe}}
105 105  
106 106  {{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
107 107  Gegeben sind die Gleichungen:
107 +
108 108  {{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
109 +
109 109  (% style="list-style: alphastyle" %)
110 110  1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
111 111  1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
... ... @@ -137,37 +137,34 @@
137 137  
138 138  == Potenzen mit rationalen Exponenten ==
139 139  
140 -{{aufgabe id="Potenzen mit rationalen Exponenten – Struktur aufbauen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
141 -Gegeben ist folgender Zusammenhang:
141 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
142 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
143 +| {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} |
142 142  
143 -| {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{3}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
144 -| 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
145 -
146 146  (% style="list-style: alphastyle" %)
147 -1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
148 -1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
149 -1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
150 -1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} zu schreiben.
146 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
147 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
148 +1. Ergänze die Folge nach links und rechts um je zwei Folgenglieder.
149 +1. Ordne auch den vier neuen Zahlen jeweils eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
151 151  {{/aufgabe}}
152 152  
153 -{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
152 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – eine geeignete Definition begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
154 154  Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
155 -{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
156 156  
155 + {{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
156 +
157 157  (% style="list-style: alphastyle" %)
158 158  1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
159 159  1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
160 -1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
161 -1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
160 +1. Beurteile, welche der beiden Darstellungen sich als allgemeine Definition für a^{m/n} eignet, und begründe deine Entscheidung.
162 162  {{/aufgabe}}
163 163  
164 164  {{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
165 -Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}.
166 -
164 +Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}}.
167 167  (% style="list-style: alphastyle" %)
168 -1. Berechne:
169 - {{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
170 -1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an.
166 +1. {{formula}}16^{\frac{3}{2}}{{/formula}}
167 +1. {{formula}}27^{\frac{2}{3}}{{/formula}}
168 +1. {{formula}}81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
171 171  {{/aufgabe}}
172 172  
173 173  {{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
... ... @@ -181,47 +181,62 @@
181 181  
182 182  == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
183 183  
184 -{{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
185 -Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
182 +{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Muster erkennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
183 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
186 186  
187 -(% class="abc" %)
188 -1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
189 -1. Nenne die Namen der Zahlen.
185 +| 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
186 +
187 +(% style="list-style: alphastyle" %)
188 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}10^n{{/formula}} dar.
189 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
190 +1. Ergänze die Folge nach rechts und nach links um je zwei weitere Glieder.
191 +1. Erläutere, warum Zehnerpotenzen besonders geeignet sind, um sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen.
190 190  {{/aufgabe}}
191 191  
192 -{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
193 -Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
194 +{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Größen vergleichen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
195 +Gegeben sind folgende Zahldarstellungen:
194 194  
195 -Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
196 -Länge eines Fußballfeldes
197 -Durchmesser eines Atoms
198 -Dicke eines menschlichen Haares
197 +{{formula}}3 \cdot 10^5,\quad 7 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}2 \cdot 10^2,\quad 9 \cdot 10^{-5}{{/formula}}
199 199  
200 -(% class="abc" %)
201 -1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
202 -1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
199 +(% style="list-style: alphastyle" %)
200 +1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß).
201 +1. Begründe deine Ordnung ausschließlich mithilfe der Exponenten und Vorfaktoren, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen. Gehe dabei auch auf die folgende Aussage ein: //„{{formula}}9 \cdot 10^{-5}{{/formula}} ist größer als {{formula}}7 \cdot 10^{-3}{{/formula}}, weil 9 größer als 7 ist.“//
202 +1. Beschreibe eine allgemeine Strategie zum Vergleichen von Zahlen der Form {{formula}}\pm a \cdot 10^n{{/formula}} mit {{formula}}1 \le a < 10{{/formula}}.
203 203  {{/aufgabe}}
204 204  
205 -{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
206 -Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
205 +{{aufgabe id="Normdarstellung – Notwendigkeit erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
206 +Gegeben sind folgende Zahldarstellungen:
207 207  
208 -(% class="abc" %)
209 -1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
210 -1. in Prozent
211 -1. als vollständig gekürzter Bruch
212 -1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
213 -1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
214 -1. als Zahl in Normdarstellung)))
215 -1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
208 +{{formula}}0{,}00045,\quad 4{,}5 \cdot 10^{-4},\quad 45 \cdot 10^{-5},\quad 0{,}45 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
209 +
210 +(% style="list-style: alphastyle" %)
211 +1. Untersuche, ob die Darstellungen denselben Zahlenwert besitzen, und begründe dein Ergebnis.
212 +1. Vergleiche die Darstellungen hinsichtlich ihrer Lesbarkeit und ihrer Eignung zur Bestimmung der Größenordnung.
213 +1. Beschreibe die Eigenschaft, durch die sich {{formula}}4{,}5 \cdot 10^{-4}{{/formula}} von den anderen Darstellungen unterscheidet.
214 +1. Begründe, warum Zahlen üblicherweise in Normdarstellung angegeben werden.
216 216  {{/aufgabe}}
217 217  
218 -{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
219 -(% class="abc" %)
220 -1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
221 -[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
222 -1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
223 -[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
224 -[[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
217 +{{aufgabe id="Normdarstellung – Fehler erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
218 +Gegeben sind Vorschläge:
219 +
220 +* {{formula}}0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
221 +* {{formula}}0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}{{/formula}}
222 +* {{formula}}4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}{{/formula}}
223 +* {{formula}}4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}{{/formula}}
224 +
225 +(% style="list-style: alphastyle" %)
226 +1. Prüfe die Darstellungen und korrigiere falsche.
227 +1. Ordne Fehlerarten zu.
228 +1. Formuliere Bedingungen für eine Normdarstellung.
225 225  {{/aufgabe}}
226 226  
231 +{{aufgabe id="Normdarstellung – Anwenden und interpretieren" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings (überarbeitet von Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
232 +(% style="list-style: alphastyle" %)
233 +1. Prüfe, ob {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7{,}32 \cdot 10^{10}{{/formula}} Normdarstellungen sind, und korrigiere sie.
234 +1. Ordne die Zahlen {{formula}}7 \cdot 10^{-5},\ 1 \cdot 10^{2},\ 1 \cdot 10^{-10}{{/formula}} passenden Größenbeispielen zu.
235 +1. (((Interpretieren der WTR-Anzeige: Gib die dargestellte Zahl in Normdarstellung (wissenschaftlicher Schreibweise) und als Dezimalzahl an.
236 +[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]] [[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
237 +)))
238 +{{/aufgabe}}
239 +
227 227  {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
XWiki.XWikiComments[1]
Autor
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1 +XWiki.holgerengels
Kommentar
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +gelöscht
Datum
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +2026-04-24 08:42:27.716
Antwort an
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