Änderungen von Dokument BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

Zusammenfassung

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -93,14 +93,16 @@
93	93	== Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
94	94
95	95	{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
96		-Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
97		-| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
	96	+Gegeben ist folgender Zusammenhang:
98	98
	98	+| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
	99	+| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
	100	+
99	99	(% style="list-style: alphastyle" %)
100		-1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
101		-1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
102		-1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
103		-1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
	102	+1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
	103	+1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
	104	+1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
	105	+1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} zu schreiben.
104	104	{{/aufgabe}}
105	105
106	106	{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
...	...	@@ -117,9 +117,9 @@
117	117
118	118	| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
119	119	| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
120		-{{/aufgabe}}
	122	+{/aufgabe}}
121	121
122		-{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
	124	+{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
123	123	Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
124	124	(% style="list-style: alphastyle" %)
125	125	1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
...	...	@@ -134,41 +134,24 @@
134	134	1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}
135	135	1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
136	136	{{/aufgabe}}
	139	+{{/aufgabe}}
137	137
138	138	== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
139	139
140		-{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
141		-Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
142		-| 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
	143	+{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen der Form m/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
	144	+Gegeben ist folgender Zusammenhang:
143	143
144		-(% style="list-style: alphastyle" %)
145		-1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
146		-1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
147		-1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
148		-1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
149		-{{/aufgabe}}
	146	+| {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{3}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
	147	+| 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
150	150
151		-{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
152		-Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
153		-{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
154		-
155	155	(% style="list-style: alphastyle" %)
156		-1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
157		-1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
158		-1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
159		-1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
	150	+1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
	151	+1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
	152	+1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
	153	+1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} zu schreiben.
160	160	{{/aufgabe}}
161	161
162		-{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
163		-Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}.
164		-
165		-(% style="list-style: alphastyle" %)
166		-1. Berechne:
167		- {{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
168		-1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an.
169		-{{/aufgabe}}
170		-
171		-{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
	156	+{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
172	172	Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
173	173	(% style="list-style: alphastyle" %)
174	174	1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
...	...	@@ -177,6 +177,17 @@
177	177	1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
178	178	{{/aufgabe}}
179	179
	165	+{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K4" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
	166	+Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
	167	+{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
	168	+
	169	+(% style="list-style: alphastyle" %)
	170	+1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
	171	+1. Untersuche weitere Beispiele eigener Wahl (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
	172	+1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
	173	+1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
	174	+{{/aufgabe}}
	175	+
180	180	== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
181	181
182	182	{{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}