Änderungen von Dokument BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

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Seiteneigenschaften

Inhalt

@@ -76,13 +76,15 @@
 . Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
 . Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
 . Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
++1. Gib  eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
  Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
++G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
++G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
++G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
--{{formula}}x^{-1} = -x,\quad x^{-1} = \frac{1}{x},\quad x^{-1} = x{{/formula}}
--
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
 . Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe:   {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
@@ -140,28 +140,29 @@
  {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
  Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
--| {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} |
++| {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} |
  (% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
++1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
 . Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
--1. Ergänze die Folge nach links und rechts um je zwei Folgenglieder.
--1. Ordne auch den vier neuen Zahlen jeweils eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
++1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
++1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Rationale Exponenten – eine geeignete Definition begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
++{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
  Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
++{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
--  {{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
--
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
 . Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
--1. Beurteile, welche der beiden Darstellungen sich als allgemeine Definition für a^{m/n} eignet, und begründe deine Entscheidung.
++1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
++1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
  Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}}.
++
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . {{formula}}16^{\frac{3}{2}}{{/formula}}
 . {{formula}}27^{\frac{2}{3}}{{/formula}}
@@ -182,12 +182,12 @@
  {{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Muster erkennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
  Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
--| 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
++| 10000 | 1000 | 100 | 10 | 1 |
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}10^n{{/formula}} dar.
 . Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
--1. Ergänze die Folge nach rechts und nach links um je zwei weitere Glieder.
++1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
 . Erläutere, warum Zehnerpotenzen besonders geeignet sind, um sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen.
  {{/aufgabe}}
@@ -198,8 +198,9 @@
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . Ordne die Maßzahlen der Größe nach (von klein nach groß).
--1. Begründe deine Ordnung, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen. Gehe dabei auch auf die Behauptung ein:
--   //„{{formula}}9 \cdot 10^{-5}{{/formula}} ist größer als {{formula}}7 \cdot 10^{-3}{{/formula}}, weil 9 größer als 7 ist.“//
++1. Begründe deine Ordnung, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen.
++1. Eine Schülerin behauptet: //„{{formula}}9 \cdot 10^{-5}{{/formula}} ist größer als {{formula}}7 \cdot 10^{-3}{{/formula}}, weil 9 größer als 7 ist.“//
++Nimm Stellung zu dieser Aussage und erläutere den Denkfehler.
 . Beschreibe eine Strategie, mit der man Maßzahlen der Form {{formula}}\pm a \cdot 10^n{{/formula}} mit {{formula}}1\le a < 10{{/formula}} schnell vergleichen kann.
  {{/aufgabe}}
@@ -217,18 +217,17 @@
  {{aufgabe id="Normdarstellung – Fehler erkennen und korrigieren" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
  Gegeben sind Vorschläge von Schülerinnen und Schülern zur Normdarstellung.
--* {{formula}}0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
--* {{formula}}0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}{{/formula}}
--* {{formula}}4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}{{/formula}}
--* {{formula}}4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}{{/formula}}
  (% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Entscheide jeweils, ob es sich um eine korrekte Darstellung, speziell Normdarstellung handelt. Begründe und korrigiere falsche Darstellungen.
++1. Prüfe die folgenden Darstellungen. Entscheide jeweils, ob es sich um eine korrekte Normdarstellung handelt. Begründe und korrigiere falsche Darstellungen.
++   {{formula}}0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
++   {{formula}}0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}{{/formula}}
++   {{formula}}4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}{{/formula}}
++   {{formula}}4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}{{/formula}}
 . (((Ordne die fehlerhaften Darstellungen einer der folgenden Fehlerarten zu:
     * falscher Exponent
     * Mantisse nicht im Intervall {{formula}}1 \le a < 10{{/formula}}
     * Dezimalverschiebung inkonsistent
--   * anderer Fehler
  )))
 . Formuliere die Bedingungen für eine Normdarstellung der Form {{formula}}a \cdot 10^n{{/formula}}.
 . Gib zu {{formula}}0{,}00072{{/formula}} zwei verschiedene Darstellungen an und kennzeichne diejenige, die eine Normdarstellung ist.
@@ -235,10 +235,8 @@
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Normdarstellung prüfen und benennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
--Gegeben sind folgende Zahl(darstellung)en:
++Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
--{{formula}}123 \cdot 10^{12},\quad 7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
--
  (% class="abc" %)
 . Prüfe, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind, und korrigiere sie gegebenenfalls.
 . Gib die zugehörigen Zahlennamen an.
@@ -245,10 +245,8 @@
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="4"}}
--Gegeben sind folgende Zahl(darstellung)en:
++Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
--{{formula}}7 \cdot 10^{-5},\quad 1 \cdot 10^{2},\quad 1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
--
  Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
  Länge eines Fußballfeldes
  Durchmesser eines Atoms
@@ -269,10 +269,8 @@
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Darstellungen vergleichen und bewerten" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
--Gegeben ist folgende Zahl(darstellung):
++Gegeben ist die Zahl {{formula}}0{,}0004{{/formula}}.
--  {{formula}}0{,}0004{{/formula}}.
--
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . Stelle die Zahl als Zehnerpotenz und in Normdarstellung dar.
 . Gib eine weitere Darstellung mit negativem Exponenten an.

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Autor

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-XWiki.holgerengels

Kommentar

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-gelöscht

Datum

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-2026-04-24 08:42:27.716

Antwort an

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-0

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