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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -34,98 +34,52 @@
34 34  
35 35  == Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
36 36  
37 -{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
38 -Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
39 -| 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
40 -
41 -(% style="list-style: alphastyle" %)
42 -1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
43 -1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
44 -1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
45 -1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
46 -{{/aufgabe}}
47 -
48 48  {{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
49 -Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
38 +Bestimme die fehlenden Zahlen in den Lücken:
50 50  | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
51 51  | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
52 52  {{/aufgabe}}
53 53  
54 -{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
43 +{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
55 55  Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
56 56  (% style="list-style: alphastyle" %)
57 57  1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
58 58  1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
59 59  1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
49 +1. {{formula}}27^{-\frac{1}{3}} {{/formula}}
60 60  {{/aufgabe}}
61 61  
62 62  {{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
63 -Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
53 +Nenne die Potenzschreibweise von {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}}.
64 64  {{/aufgabe}}
65 65  
66 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
67 -Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
68 -S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
69 -S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
70 -S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
71 -S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.
72 -S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.
73 -S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.
56 +{{aufgabe id="Aussage zu rationalen Exponenten begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="5"}}
57 +Ein Schüler behauptet: //„{{formula}}x^{-1}{{/formula}} ist dasselbe wie {{formula}}-x{{/formula}}.“//
74 74  
75 -(% style="list-style: alphastyle" %)
76 -1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
77 -1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
78 -1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
79 -{{/aufgabe}}
59 +a) Untersuche, ob diese Aussage für alle Zahlen wahr ist.
60 +Begründe deine Entscheidung mithilfe eines geeigneten Beispiels oder Gegenbeispiels.
80 80  
81 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
82 -Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
62 +b) Erläutere, warum der Term {{formula}}0^{-1}{{/formula}} nicht definiert ist.
83 83  
84 -{{formula}}x^{-1} = -x,\quad x^{-1} = \frac{1}{x},\quad x^{-1} = x{{/formula}}
85 -
86 -(% style="list-style: alphastyle" %)
87 -1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
88 -1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
89 -1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
90 90  {{/aufgabe}}
91 91  
92 92  == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
93 93  
94 -{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
95 -Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
96 -| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} |
68 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
69 +Führe fort ..
97 97  
98 -(% style="list-style: alphastyle" %)
99 -1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
100 -1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
101 -1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
102 -1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten //k// der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
71 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
72 +| 16 | 4 | 2 | | | |
103 103  {{/aufgabe}}
104 104  
105 -{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
106 -Gegeben sind die Gleichungen:
107 107  
108 -{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
109 -
110 -(% style="list-style: alphastyle" %)
111 -1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
112 -1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
113 -1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
114 -{{/aufgabe}}
115 -
116 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
117 -Ergänze die Wertetabelle:
118 -
119 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
120 -| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
121 -{{/aufgabe}}
122 -
123 -{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
76 +{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
124 124  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
125 125  (% style="list-style: alphastyle" %)
126 126  1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
127 127  1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
128 128  1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
82 +1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
129 129  {{/aufgabe}}
130 130  
131 131  {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -136,39 +136,7 @@
136 136  1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
137 137  {{/aufgabe}}
138 138  
139 -== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
140 -
141 -{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
142 -Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
143 -| {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} |
144 -
145 -(% style="list-style: alphastyle" %)
146 -1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
147 -1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
148 -1. Ergänze die Folge nach links und rechts um je zwei Folgenglieder.
149 -1. Ordne auch den vier neuen Zahlen jeweils eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
150 -{{/aufgabe}}
151 -
152 -{{aufgabe id="Rationale Exponenten – eine geeignete Definition begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
153 -Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
154 -
155 - {{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
156 -
157 -(% style="list-style: alphastyle" %)
158 -1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
159 -1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
160 -1. Beurteile, welche der beiden Darstellungen sich als allgemeine Definition für a^{m/n} eignet, und begründe deine Entscheidung.
161 -{{/aufgabe}}
162 -
163 -{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
164 -Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}}.
165 -(% style="list-style: alphastyle" %)
166 -1. {{formula}}16^{\frac{3}{2}}{{/formula}}
167 -1. {{formula}}27^{\frac{2}{3}}{{/formula}}
168 -1. {{formula}}81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
169 -{{/aufgabe}}
170 -
171 -{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
93 +{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
172 172  Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
173 173  (% style="list-style: alphastyle" %)
174 174  1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
... ... @@ -177,64 +177,52 @@
177 177  1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
178 178  {{/aufgabe}}
179 179  
180 -== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
102 +== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
181 181  
182 -{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Muster erkennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
183 -Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
104 +{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
105 +Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
184 184  
185 -| 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
186 -
187 -(% style="list-style: alphastyle" %)
188 -1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}10^n{{/formula}} dar.
189 -1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
190 -1. Ergänze die Folge nach rechts und nach links um je zwei weitere Glieder.
191 -1. Erläutere, warum Zehnerpotenzen besonders geeignet sind, um sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen.
107 +(% class="abc" %)
108 +1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
109 +1. in Prozent
110 +1. als vollständig gekürzter Bruch
111 +1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
112 +1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
113 +1. als Zahl in Normdarstellung)))
114 +1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
192 192  {{/aufgabe}}
193 193  
194 -{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Größen vergleichen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
195 -Gegeben sind folgende Zahldarstellungen:
117 +== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
196 196  
197 -{{formula}}3 \cdot 10^5,\quad 7 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}2 \cdot 10^2,\quad 9 \cdot 10^{-5}{{/formula}}
119 +{{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
120 +Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
198 198  
199 -(% style="list-style: alphastyle" %)
200 -1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß).
201 -1. Begründe deine Ordnung ausschließlich mithilfe der Exponenten und Vorfaktoren, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen. Gehe dabei auch auf die folgende Aussage ein: //„{{formula}}9 \cdot 10^{-5}{{/formula}} ist größer als {{formula}}7 \cdot 10^{-3}{{/formula}}, weil 9 größer als 7 ist.“//
202 -1. Beschreibe eine allgemeine Strategie zum Vergleichen von Zahlen der Form {{formula}}\pm a \cdot 10^n{{/formula}} mit {{formula}}1 \le a < 10{{/formula}}.
122 +(% class="abc" %)
123 +1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
124 +1. Nenne die Namen der Zahlen.
203 203  {{/aufgabe}}
204 204  
205 -{{aufgabe id="Normdarstellung – Notwendigkeit erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
206 -Gegeben sind folgende Zahldarstellungen:
127 +{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
128 +Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
207 207  
208 -{{formula}}0{,}00045,\quad 4{,}5 \cdot 10^{-4},\quad 45 \cdot 10^{-5},\quad 0{,}45 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
130 +Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
131 +Länge eines Fußballfeldes
132 +Durchmesser eines Atoms
133 +Dicke eines menschlichen Haares
209 209  
210 -(% style="list-style: alphastyle" %)
211 -1. Untersuche, ob die Darstellungen denselben Zahlenwert besitzen, und begründe dein Ergebnis.
212 -1. Vergleiche die Darstellungen hinsichtlich ihrer Lesbarkeit und ihrer Eignung zur Bestimmung der Größenordnung.
213 -1. Beschreibe die Eigenschaft, durch die sich {{formula}}4{,}5 \cdot 10^{-4}{{/formula}} von den anderen Darstellungen unterscheidet.
214 -1. Begründe, warum Zahlen üblicherweise in Normdarstellung angegeben werden.
135 +(% class="abc" %)
136 +1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
137 +1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
215 215  {{/aufgabe}}
216 216  
217 -{{aufgabe id="Normdarstellung – Fehler erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
218 -Gegeben sind Vorschläge:
219 219  
220 -* {{formula}}0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
221 -* {{formula}}0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}{{/formula}}
222 -* {{formula}}4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}{{/formula}}
223 -* {{formula}}4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}{{/formula}}
224 -
225 -(% style="list-style: alphastyle" %)
226 -1. Prüfe die Darstellungen und korrigiere falsche.
227 -1. Ordne Fehlerarten zu.
228 -1. Formuliere Bedingungen für eine Normdarstellung.
141 +{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
142 +(% class="abc" %)
143 +1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
144 +[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
145 +1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
146 +[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
147 +[[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
229 229  {{/aufgabe}}
230 230  
231 -{{aufgabe id="Normdarstellung – Anwenden und interpretieren" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings (überarbeitet von Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
232 -(% style="list-style: alphastyle" %)
233 -1. Prüfe, ob {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7{,}32 \cdot 10^{10}{{/formula}} Normdarstellungen sind, und korrigiere sie.
234 -1. Ordne die Zahlen {{formula}}7 \cdot 10^{-5},\ 1 \cdot 10^{2},\ 1 \cdot 10^{-10}{{/formula}} passenden Größenbeispielen zu.
235 -1. (((Interpretieren der WTR-Anzeige: Gib die dargestellte Zahl in Normdarstellung (wissenschaftlicher Schreibweise) und als Dezimalzahl an.
236 -[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]] [[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
237 -)))
238 -{{/aufgabe}}
239 -
240 240  {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
XWiki.XWikiComments[1]
Autor
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1 -XWiki.holgerengels
Kommentar
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1 -gelöscht
Datum
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1 -2026-04-24 08:42:27.716
Antwort an
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1 -0