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Version 229.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/23 22:45
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit rationalen Exponenten in Wurzelausdrücke umwandeln und umgekehrt.
4 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit negativen Exponenten in Bruchausdrücke umwandeln und umgekehrt.
5 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen in Normdarstellung angeben.
6 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen aus dem Makro- oder Mikrozahlenbereich als Zehnerpotenzen darstellen.
7
8 == Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==
9
10 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
11 (% style="list-style: alphastyle" %)
12 1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}(-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4{{/formula}}.
13 1. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.
14 {{/aufgabe}}
15
16 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
17 (% style="list-style: alphastyle" %)
18 1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2{{/formula}}.
19 1. Untersuche die Gleichung {{formula}}a^b = b^a{{/formula}}. Finde Beispiele und Gegenbeispiele.
20 {{/aufgabe}}
21
22 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
23 Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.
24 (% style="list-style: alphastyle" %)
25 1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
26 1. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen {{formula}}(a^m)^n{{/formula}} und einer Potenz der Form {{formula}}a^k{{/formula}} und gib an, wie sich der Exponent {{formula}}k{{/formula}} aus {{formula}}m{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} ergibt.
27 {{/aufgabe}}
28
29 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
30 (% style="list-style: alphastyle" %)
31 1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
32 1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
33 {{/aufgabe}}
34
35 == Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
36
37 {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
38 Gegeben ist die folgende Zahlenfolge:
39
40 | {{formula}}\square{{/formula}} | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
41 {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
42
43 (% style="list-style: alphastyle" %)
44 1. Stelle die ersten fünf Zahlen der Folge in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
45 1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster der zugehörigen Exponenten.
46 1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
47 1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
48 {{/aufgabe}}
49
50 {{aufgabe id="Negative Exponenten – Zuordnung begründen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="3" quelle="nach Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
51 Gegeben ist die folgende Zahlenfolge:
52
53 | 8 | 4 | 2 | 1 | {{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} | {{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}} |
54
55
56 Außerdem sind die ersten vier Werte wie folgt dargestellt:
57 {{formula}}8 = 2^3,\quad 4 = 2^2,\quad 2 = 2^1,\quad 1 = 2^0{{/formula}}
58
59 (% style="list-style: alphastyle" %)
60 1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge.
61
62 1. Ergänze eine passende Potenzschreibweise für die beiden letzten Zahlen.
63
64 1. Erläutere, warum deine Fortsetzung der Exponenten sinnvoll zur Zahlenfolge passt.
65 {{/aufgabe}}
66
67 {{aufgabe id="Negative Exponenten – Fortsetzung begründen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="3" quelle="nach Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
68 Gegeben ist die folgende Wertetabelle:
69
70 | {{formula}}3^3{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{\square}{{/formula}} | {{formula}}3^{\square}{{/formula}} |
71 | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
72
73 (% style="list-style: alphastyle" %)
74 1. Ergänze die Tabelle so, dass das Muster von links nach rechts sinnvoll fortgesetzt wird.
75 1. Beschreibe das entstehende Muster.
76 1. Bestimme die fehlenden Exponenten und begründe, warum diese Fortsetzung sinnvoll ist.
77 {{/aufgabe}}
78
79 {{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
80 Bestimme die fehlenden Zahlen in den Lücken:
81 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
82 | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
83 {{/aufgabe}}
84
85 {{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
86 Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
87 (% style="list-style: alphastyle" %)
88 1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
89 1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
90 1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
91 1. {{formula}}27^{-\frac{1}{3}} {{/formula}}
92 {{/aufgabe}}
93
94 {{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
95 Nenne die Potenzschreibweise von {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}}.
96 {{/aufgabe}}
97
98 {{aufgabe id="Aussage zu rationalen Exponenten begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="5"}}
99 Ein Schüler behauptet: //„{{formula}}x^{-1}{{/formula}} ist dasselbe wie {{formula}}-x{{/formula}}.“//
100 (% style="list-style: alphastyle" %)
101 1. Untersuche, ob diese Aussage für alle Zahlen wahr ist.
102 Begründe deine Entscheidung mithilfe eines geeigneten Beispiels oder Gegenbeispiels.
103 1. Erläutere, warum der Term {{formula}}0^{-1}{{/formula}} nicht definiert ist.
104 {{/aufgabe}}
105
106 == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
107
108 {{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
109 Führe fort ..
110
111 | {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
112 | 16 | 4 | 2 | | | |
113 {{/aufgabe}}
114
115
116 {{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
117 Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
118 (% style="list-style: alphastyle" %)
119 1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
120 1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
121 1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
122 1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
123 {{/aufgabe}}
124
125 {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
126 Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.
127 (% style="list-style: alphastyle" %)
128 1. {{formula}}\sqrt{3^5}{{/formula}}
129 1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}
130 1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
131 {{/aufgabe}}
132
133 {{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
134 Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
135 (% style="list-style: alphastyle" %)
136 1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
137 1. {{formula}}\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}{{/formula}}
138 1. {{formula}}\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}{{/formula}}
139 1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
140 {{/aufgabe}}
141
142 == Potenzen mit rationalen Exponenten ==
143
144 {{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
145 Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
146
147 (% class="abc" %)
148 1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
149 1. in Prozent
150 1. als vollständig gekürzter Bruch
151 1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
152 1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
153 1. als Zahl in Normdarstellung)))
154 1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
155 {{/aufgabe}}
156
157 == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
158
159 {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
160 Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
161
162 (% class="abc" %)
163 1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
164 1. Nenne die Namen der Zahlen.
165 {{/aufgabe}}
166
167 {{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
168 Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
169
170 Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
171 Länge eines Fußballfeldes
172 Durchmesser eines Atoms
173 Dicke eines menschlichen Haares
174
175 (% class="abc" %)
176 1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
177 1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
178 {{/aufgabe}}
179
180
181 {{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
182 (% class="abc" %)
183 1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
184 [[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
185 1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
186 [[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
187 [[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
188 {{/aufgabe}}
189
190 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}