BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit rationalen Exponenten in Wurzelausdrücke umwandeln und umgekehrt.

4

[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit negativen Exponenten in Bruchausdrücke umwandeln und umgekehrt.

5

[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen in Normdarstellung angeben.

6

[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen aus dem Makro- oder Mikrozahlenbereich als Zehnerpotenzen darstellen.

7

8

== Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==

9

10

{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

11

(% style="list-style: alphastyle" %)

12

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}(-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4{{/formula}}.

13

1. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.

14

15

16

{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

17

(% style="list-style: alphastyle" %)

18

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2{{/formula}}.

19

1. Untersuche die Gleichung {{formula}}a^b = b^a{{/formula}}. Finde Beispiele und Gegenbeispiele.

20

21

22

{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

23

Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.

24

(% style="list-style: alphastyle" %)

25

1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.

26

1. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen {{formula}}(a^m)^n{{/formula}} und einer Potenz der Form {{formula}}a^k{{/formula}} und gib an, wie sich der Exponent {{formula}}k{{/formula}} aus {{formula}}m{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} ergibt.

27

28

29

{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

30

(% style="list-style: alphastyle" %)

31

1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.

32

1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.

33

34

35

== Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==

36

37

{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

38

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

39

| 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |

40

(% style="list-style: alphastyle" %)

41

1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.

42

1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.

43

1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.

44

1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.

45

46

47

{{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}

48

Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:

49

| {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}

50

| 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}

51

52

53

{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}

54

Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.

55

(% style="list-style: alphastyle" %)

56

1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}

57

1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}

58

1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}

59

60

61

{{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}

62

Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.

63

64

65

{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

66

Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:

67

S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.

68

S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.

69

S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.

70

S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.

71

S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.

72

S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.

73

74

(% style="list-style: alphastyle" %)

75

1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.

76

1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.

77

1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.

78

1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.

79

80

81

{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}

82

Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):

83

G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}

84

G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}

85

G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}

86

87

(% style="list-style: alphastyle" %)

88

1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.

89

1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}

90

1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.

91

92

93

== Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==

94

95

{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

96

Gegeben ist folgender Zusammenhang:

97

98

| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |

99

| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |

100

101

(% style="list-style: alphastyle" %)

102

1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.

103

1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.

104

1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.

105

1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} zu schreiben.

106

107

108

{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

109

Gegeben sind die Gleichungen:

110

{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}

111

(% style="list-style: alphastyle" %)

112

1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.

113

1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.

114

1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.

115

116

117

{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}

118

Ergänze die Wertetabelle:

119

120

| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |

121

| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |

122

123

124

{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}

125

Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.

126

(% style="list-style: alphastyle" %)

127

1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}

128

1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}

129

1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}

130

131

132

{{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}

133

Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.

134

(% style="list-style: alphastyle" %)

135

1. {{formula}}\sqrt{3^5}{{/formula}}

136

1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}

137

1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}

138

139

140

== Potenzen mit rationalen Exponenten ==

141

142

{{aufgabe id="Potenzen mit rationalen Exponenten – Struktur aufbauen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

143

Gegeben ist folgender Zusammenhang:

144

145

| {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{3}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |

146

| 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |

147

148

(% style="list-style: alphastyle" %)

149

1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.

150

1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.

151

1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.

152

1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} zu schreiben.

153

154

155

{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

156

Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:

157

{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}

158

159

(% style="list-style: alphastyle" %)

160

1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.

161

1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.

162

1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).

163

1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.

164

165

166

{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

167

Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}.

168

169

(% style="list-style: alphastyle" %)

170

1. Berechne:

171

{{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}

172

1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an.

173

174

175

{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}

176

Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:

177

(% style="list-style: alphastyle" %)

178

1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}

179

1. {{formula}}\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}{{/formula}}

180

1. {{formula}}\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}{{/formula}}

181

1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}

182

183

184

== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==

185

186

{{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}

187

Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.

188

189

(% class="abc" %)

190

1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.

191

1. Nenne die Namen der Zahlen.

192

193

194

{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}

195

Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.

196

197

Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:

198

Länge eines Fußballfeldes

199

Durchmesser eines Atoms

200

Dicke eines menschlichen Haares

201

202

(% class="abc" %)

203

1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.

204

1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.

205

206

207

{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}

208

Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.

209

210

(% class="abc" %)

211

1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:

212

1. in Prozent

213

1. als vollständig gekürzter Bruch

214

1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}

215

1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)

216

1. als Zahl in Normdarstellung)))

217

1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.

218

219

220

{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}

221

(% class="abc" %)

222

1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.

223

[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]

224

1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.

225

[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]

226

[[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]

227

228

229

{{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}

Wiki-Quellcode von BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

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		1	{{seiteninhalt/}}
		2
		3	[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit rationalen Exponenten in Wurzelausdrücke umwandeln und umgekehrt.
		4	[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit negativen Exponenten in Bruchausdrücke umwandeln und umgekehrt.
		5	[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen in Normdarstellung angeben.
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		7
		8	== Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==
		9
		10	{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
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		12	1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}(-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4{{/formula}}.
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		22	{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		23	Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.
		24	(% style="list-style: alphastyle" %)
		25	1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
		26	1. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen {{formula}}(a^m)^n{{/formula}} und einer Potenz der Form {{formula}}a^k{{/formula}} und gib an, wie sich der Exponent {{formula}}k{{/formula}} aus {{formula}}m{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} ergibt.
		27	{{/aufgabe}}
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		29	{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
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		31	1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
		32	1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
		33	{{/aufgabe}}
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		35	== Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
		36
		37	{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		38	Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
		39	\| 16 \| 8 \| 4 \| 2 \| 1 \|
		40	(% style="list-style: alphastyle" %)
		41	1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
		42	1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
		43	1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
		44	1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
		45	{{/aufgabe}}
		46
		47	{{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
		48	Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
		49	\| {{formula}}\square{{/formula}} \| {{formula}}3^2{{/formula}} \| {{formula}}3^1{{/formula}} \| {{formula}}3^0{{/formula}} \| {{formula}}3^{-1}{{/formula}} \| {{formula}}3^{-2}{{/formula}} \| {{formula}}\square{{/formula}}
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		51	{{/aufgabe}}
		52
		53	{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
		54	Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
		55	(% style="list-style: alphastyle" %)
		56	1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
		57	1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
		58	1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
		59	{{/aufgabe}}
		60
		61	{{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
		62	Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
		63	{{/aufgabe}}
		64
		65	{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		66	Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
		67	S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
		68	S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
		69	S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
		70	S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.
		71	S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.
		72	S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.
		73
		74	(% style="list-style: alphastyle" %)
		75	1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
		76	1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
		77	1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
		78	1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
		79	{{/aufgabe}}
		80
		81	{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
		82	Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
		83	G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
		84	G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
		85	G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
		86
		87	(% style="list-style: alphastyle" %)
		88	1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
		89	1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
		90	1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
		91	{{/aufgabe}}
		92
		93	== Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
		94
		95	{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		96	Gegeben ist folgender Zusammenhang:
		97
		98	\| {{formula}}2^4{{/formula}} \| {{formula}}2^2{{/formula}} \| {{formula}}2^1{{/formula}} \| {{formula}}2^{\square}{{/formula}} \| {{formula}}2^{\square}{{/formula}} \|
		99	\| 16 \| 4 \| 2 \| {{formula}}\square{{/formula}} \| {{formula}}\square{{/formula}} \|
		100
		101	(% style="list-style: alphastyle" %)
		102	1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
		103	1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
		104	1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
		105	1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} zu schreiben.
		106	{{/aufgabe}}
		107
		108	{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		109	Gegeben sind die Gleichungen:
		110	{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
		111	(% style="list-style: alphastyle" %)
		112	1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
		113	1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
		114	1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
		115	{{/aufgabe}}
		116
		117	{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
		118	Ergänze die Wertetabelle:
		119
		120	\| {{formula}}2^4{{/formula}} \| {{formula}}2^2{{/formula}} \| {{formula}}2^1{{/formula}} \| {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} \| {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} \|
		121	\| 16 \| 4 \| 2 \| {{formula}}\square{{/formula}} \| {{formula}}\square{{/formula}} \|
		122	{{/aufgabe}}
		123
		124	{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
		125	Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
		126	(% style="list-style: alphastyle" %)
		127	1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
		128	1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
		129	1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
		130	{{/aufgabe}}
		131
		132	{{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
		133	Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.
		134	(% style="list-style: alphastyle" %)
		135	1. {{formula}}\sqrt{3^5}{{/formula}}
		136	1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}
		137	1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
		138	{{/aufgabe}}
		139
		140	== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
		141
		142	{{aufgabe id="Potenzen mit rationalen Exponenten – Struktur aufbauen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		143	Gegeben ist folgender Zusammenhang:
		144
		145	\| {{formula}}2^2{{/formula}} \| {{formula}}2^1{{/formula}} \| {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} \| {{formula}}2^{\frac{3}{2}}{{/formula}} \| {{formula}}2^{\square}{{/formula}} \|
		146	\| 4 \| 2 \| {{formula}}\square{{/formula}} \| {{formula}}\square{{/formula}} \| {{formula}}\square{{/formula}} \|
		147
		148	(% style="list-style: alphastyle" %)
		149	1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
		150	1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
		151	1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
		152	1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} zu schreiben.
		153	{{/aufgabe}}
		154
		155	{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		156	Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
		157	{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
		158
		159	(% style="list-style: alphastyle" %)
		160	1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
		161	1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
		162	1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
		163	1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
		164	{{/aufgabe}}
		165
		166	{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		167	Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}.
		168
		169	(% style="list-style: alphastyle" %)
		170	1. Berechne:
		171	{{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
		172	1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an.
		173	{{/aufgabe}}
		174
		175	{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
		176	Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
		177	(% style="list-style: alphastyle" %)
		178	1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
		179	1. {{formula}}\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}{{/formula}}
		180	1. {{formula}}\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}{{/formula}}
		181	1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
		182	{{/aufgabe}}
		183
		184	== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
		185
		186	{{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
		187	Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
		188
		189	(% class="abc" %)
		190	1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
		191	1. Nenne die Namen der Zahlen.
		192	{{/aufgabe}}
		193
		194	{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
		195	Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
		196
		197	Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
		198	Länge eines Fußballfeldes
		199	Durchmesser eines Atoms
		200	Dicke eines menschlichen Haares
		201
		202	(% class="abc" %)
		203	1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
		204	1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
		205	{{/aufgabe}}
		206
		207	{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
		208	Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
		209
		210	(% class="abc" %)
		211	1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
		212	1. in Prozent
		213	1. als vollständig gekürzter Bruch
		214	1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
		215	1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
		216	1. als Zahl in Normdarstellung)))
		217	1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
		218	{{/aufgabe}}
		219
		220	{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
		221	(% class="abc" %)
		222	1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
		223	[[image:Taschenrechnerdisplay.png\|\|width="100"]]
		224	1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
		225	[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png\|\|width="100"]]
		226	[[image:Taschenrechnerdisplay_2.png\|\|width="100"]]
		227	{{/aufgabe}}
		228
		229	{{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}

unfertig	fertig
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