Zum Inhalt springen
Version 265.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/24 02:04
Verstecke letzte Bearbeiter
Martina Wagner 2.1 1 {{seiteninhalt/}}
2
Nicole Böhringer 5.1 3 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit rationalen Exponenten in Wurzelausdrücke umwandeln und umgekehrt.
Nicole Böhringer 8.1 4 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit negativen Exponenten in Bruchausdrücke umwandeln und umgekehrt.
Nicole Böhringer 5.1 5 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen in Normdarstellung angeben.
6 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen aus dem Makro- oder Mikrozahlenbereich als Zehnerpotenzen darstellen.
Sarah Könings 7.1 7
Martin Rathgeb 223.1 8 == Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==
Martin Rathgeb 213.1 9
Martin Rathgeb 218.1 10 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 213.1 11 (% style="list-style: alphastyle" %)
Martin Rathgeb 218.1 12 1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}(-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4{{/formula}}.
13 1. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.
Martin Rathgeb 213.1 14 {{/aufgabe}}
15
Martin Rathgeb 218.1 16 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 213.1 17 (% style="list-style: alphastyle" %)
Martin Rathgeb 218.1 18 1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2{{/formula}}.
19 1. Untersuche die Gleichung {{formula}}a^b = b^a{{/formula}}. Finde Beispiele und Gegenbeispiele.
Martin Rathgeb 213.1 20 {{/aufgabe}}
21
Martin Rathgeb 221.1 22 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 218.1 23 Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.
Martin Rathgeb 213.1 24 (% style="list-style: alphastyle" %)
Martin Rathgeb 218.1 25 1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
Martin Rathgeb 221.1 26 1. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen {{formula}}(a^m)^n{{/formula}} und einer Potenz der Form {{formula}}a^k{{/formula}} und gib an, wie sich der Exponent {{formula}}k{{/formula}} aus {{formula}}m{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} ergibt.
Martin Rathgeb 213.1 27 {{/aufgabe}}
28
Martin Rathgeb 221.1 29 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
30 (% style="list-style: alphastyle" %)
Martin Rathgeb 226.1 31 1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
Martin Rathgeb 222.1 32 1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
Martin Rathgeb 221.1 33 {{/aufgabe}}
34
Martin Rathgeb 224.1 35 == Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
Martin Rathgeb 214.1 36
Martin Rathgeb 229.1 37 {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 236.1 38 Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
39 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Martin Rathgeb 262.1 40
Martin Rathgeb 229.1 41 (% style="list-style: alphastyle" %)
Martin Rathgeb 236.1 42 1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
Martin Rathgeb 238.1 43 1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
Martin Rathgeb 229.1 44 1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
45 1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
46 {{/aufgabe}}
47
Martin Rathgeb 214.1 48 {{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
Martin Rathgeb 238.1 49 Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
Martin Rathgeb 214.1 50 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
51 | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
52 {{/aufgabe}}
53
Martin Rathgeb 238.1 54 {{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
Sandra Vogt 164.1 55 Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
56 (% style="list-style: alphastyle" %)
57 1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
58 1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
59 1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
60 {{/aufgabe}}
61
Martin Rathgeb 205.1 62 {{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 238.1 63 Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
Simone Schuetze 200.1 64 {{/aufgabe}}
65
Martin Rathgeb 243.1 66 {{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 239.1 67 Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
Martin Rathgeb 238.1 68 S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
69 S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
70 S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
71 S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.
72 S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.
73 S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.
74
75 (% style="list-style: alphastyle" %)
76 1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
77 1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
Martin Rathgeb 239.1 78 1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
Martin Rathgeb 240.1 79 1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 238.1 80 {{/aufgabe}}
81
Martin Rathgeb 243.1 82 {{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 241.1 83 Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
84 G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
85 G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
86 G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
87
Martin Rathgeb 227.1 88 (% style="list-style: alphastyle" %)
Martin Rathgeb 241.1 89 1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
90 1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
91 1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
Simone Schuetze 202.1 92 {{/aufgabe}}
93
Martin Rathgeb 225.1 94 == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
95
Martin Rathgeb 254.1 96 {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 258.1 97 Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
Martin Rathgeb 263.1 98 | 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} |
Martin Rathgeb 251.1 99
100 (% style="list-style: alphastyle" %)
Martin Rathgeb 259.1 101 1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
Martin Rathgeb 258.1 102 1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
Martin Rathgeb 262.1 103 1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
104 1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten //k// der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
Martin Rathgeb 251.1 105 {{/aufgabe}}
106
Martin Rathgeb 247.1 107 {{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 244.1 108 Gegeben sind die Gleichungen:
109 {{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
Martin Rathgeb 242.1 110 (% style="list-style: alphastyle" %)
Martin Rathgeb 247.1 111 1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
112 1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
Martin Rathgeb 249.1 113 1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
Martin Rathgeb 242.1 114 {{/aufgabe}}
115
Martin Rathgeb 254.1 116 {{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
Martin Rathgeb 249.1 117 Ergänze die Wertetabelle:
118
119 | {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
120 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
Martin Rathgeb 257.1 121 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 249.1 122
Martin Rathgeb 257.1 123 {{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
Thomas Weber 154.1 124 Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
Sarah Könings 14.1 125 (% style="list-style: alphastyle" %)
Sarah Könings 21.1 126 1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
Sarah Könings 23.1 127 1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
Sarah Könings 26.1 128 1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
Sarah Könings 14.1 129 {{/aufgabe}}
Sarah Könings 74.1 130
Sandra Vogt 198.1 131 {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
Thomas Weber 154.1 132 Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.
Sarah Könings 73.1 133 (% style="list-style: alphastyle" %)
Sarah Könings 78.1 134 1. {{formula}}\sqrt{3^5}{{/formula}}
Sarah Könings 79.1 135 1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}
Sarah Könings 80.1 136 1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
Sarah Könings 73.1 137 {{/aufgabe}}
Sarah Könings 74.1 138
Martin Rathgeb 225.1 139 == Potenzen mit rationalen Exponenten ==
140
Martin Rathgeb 260.1 141 {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
142 Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
Martin Rathgeb 264.1 143 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} |
Martin Rathgeb 225.1 144
Martin Rathgeb 252.1 145 (% style="list-style: alphastyle" %)
Martin Rathgeb 260.1 146 1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
147 1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
Martin Rathgeb 261.1 148 1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
Martin Rathgeb 262.1 149 1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
Martin Rathgeb 225.1 150 {{/aufgabe}}
151
Martin Rathgeb 256.1 152 {{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 252.1 153 Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
154 {{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
155
156 (% style="list-style: alphastyle" %)
157 1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
Martin Rathgeb 256.1 158 1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
Martin Rathgeb 252.1 159 1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
160 1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
161 {{/aufgabe}}
162
Martin Rathgeb 256.1 163 {{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 265.1 164 Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}}.
Martin Rathgeb 256.1 165
166 (% style="list-style: alphastyle" %)
Martin Rathgeb 265.1 167 1. {{formula}}16^{\frac{3}{2}}{{/formula}}
168 1. {{formula}}27^{\frac{2}{3}}{{/formula}}
169 1. {{formula}}81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
Martin Rathgeb 256.1 170 {{/aufgabe}}
171
172 {{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
173 Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
174 (% style="list-style: alphastyle" %)
175 1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
176 1. {{formula}}\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}{{/formula}}
177 1. {{formula}}\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}{{/formula}}
178 1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
179 {{/aufgabe}}
180
Martin Rathgeb 225.1 181 == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
182
Sandra Vogt 159.1 183 {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
Martin Rathgeb 210.1 184 Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
Sandra Vogt 158.1 185
Martin Rathgeb 207.1 186 (% class="abc" %)
187 1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
188 1. Nenne die Namen der Zahlen.
Sandra Vogt 159.1 189 {{/aufgabe}}
Sandra Vogt 158.1 190
Sandra Vogt 198.1 191 {{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
Martin Rathgeb 211.1 192 Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
Sandra Vogt 178.1 193
Simone Schuetze 179.1 194 Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
195 Länge eines Fußballfeldes
196 Durchmesser eines Atoms
197 Dicke eines menschlichen Haares
Sandra Vogt 178.1 198
Martin Rathgeb 211.1 199 (% class="abc" %)
200 1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
201 1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
Sandra Vogt 178.1 202 {{/aufgabe}}
203
Martin Rathgeb 253.1 204 {{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
205 Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
Sandra Vogt 178.1 206
Martin Rathgeb 253.1 207 (% class="abc" %)
208 1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
209 1. in Prozent
210 1. als vollständig gekürzter Bruch
211 1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
212 1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
213 1. als Zahl in Normdarstellung)))
214 1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
215 {{/aufgabe}}
216
Sandra Vogt 198.1 217 {{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
Martin Rathgeb 211.1 218 (% class="abc" %)
Sandra Vogt 177.1 219 1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
220 [[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
221 1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
222 [[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
223 [[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
224 {{/aufgabe}}
Sandra Vogt 159.1 225
Simone Schuetze 199.1 226 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}