BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit rationalen Exponenten in Wurzelausdrücke umwandeln und umgekehrt.

4

[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit negativen Exponenten in Bruchausdrücke umwandeln und umgekehrt.

5

[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen in Normdarstellung angeben.

6

[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen aus dem Makro- oder Mikrozahlenbereich als Zehnerpotenzen darstellen.

7

8

== Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==

9

10

{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

11

(% style="list-style: alphastyle" %)

12

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}(-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4{{/formula}}.

13

1. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.

14

15

16

{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

17

(% style="list-style: alphastyle" %)

18

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2{{/formula}}.

19

1. Untersuche die Gleichung {{formula}}a^b = b^a{{/formula}}. Finde Beispiele und Gegenbeispiele.

20

21

22

{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

23

Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.

24

(% style="list-style: alphastyle" %)

25

1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.

26

1. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen {{formula}}(a^m)^n{{/formula}} und einer Potenz der Form {{formula}}a^k{{/formula}} und gib an, wie sich der Exponent {{formula}}k{{/formula}} aus {{formula}}m{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} ergibt.

27

28

29

{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

30

(% style="list-style: alphastyle" %)

31

1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.

32

1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.

33

34

35

== Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==

36

37

{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

38

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

39

| 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |

40

41

(% style="list-style: alphastyle" %)

42

1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.

43

1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.

44

1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.

45

1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.

46

47

48

{{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}

49

Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:

50

| {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}

51

| 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}

52

53

54

{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}

55

Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.

56

(% style="list-style: alphastyle" %)

57

1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}

58

1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}

59

1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}

60

61

62

{{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}

63

Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.

64

65

66

{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

67

Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:

68

S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.

69

S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.

70

S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.

71

S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.

72

S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.

73

S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.

74

75

(% style="list-style: alphastyle" %)

76

1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.

77

1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.

78

1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.

79

1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.

80

81

82

{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}

83

Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):

84

G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}

85

G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}

86

G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}

87

88

(% style="list-style: alphastyle" %)

89

1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.

90

1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}

91

1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.

92

93

94

== Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==

95

96

{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

97

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

98

| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} |

99

100

(% style="list-style: alphastyle" %)

101

1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.

102

1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.

103

1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.

104

1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten //k// der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.

105

106

107

{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

108

Gegeben sind die Gleichungen:

109

{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}

110

(% style="list-style: alphastyle" %)

111

1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.

112

1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.

113

1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.

114

115

116

{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}

117

Ergänze die Wertetabelle:

118

119

| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |

120

| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |

121

122

123

{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}

124

Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.

125

(% style="list-style: alphastyle" %)

126

1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}

127

1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}

128

1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}

129

130

131

{{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}

132

Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.

133

(% style="list-style: alphastyle" %)

134

1. {{formula}}\sqrt{3^5}{{/formula}}

135

1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}

136

1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}

137

138

139

== Potenzen mit rationalen Exponenten ==

140

141

{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

142

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

143

| {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} |

144

145

(% style="list-style: alphastyle" %)

146

1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.

147

1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.

148

1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.

149

1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.

150

151

152

{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

153

Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:

154

{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}

155

156

(% style="list-style: alphastyle" %)

157

1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.

158

1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.

159

1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).

160

1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.

161

162

163

{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

164

Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}}.

165

166

(% style="list-style: alphastyle" %)

167

1. {{formula}}16^{\frac{3}{2}}{{/formula}}

168

1. {{formula}}27^{\frac{2}{3}}{{/formula}}

169

1. {{formula}}81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}

170

171

172

{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}

173

Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:

174

(% style="list-style: alphastyle" %)

175

1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}

176

1. {{formula}}\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}{{/formula}}

177

1. {{formula}}\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}{{/formula}}

178

1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}

179

180

181

== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==

182

183

{{aufgabe id="Normdarstellung prüfen und benennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}

184

Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.

185

186

(% class="abc" %)

187

1. Prüfe, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind, und korrigiere sie gegebenenfalls.

188

1. Gib die zugehörigen Zahlennamen an.

189

190

191

{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="4"}}

192

Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.

193

194

Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:

195

Länge eines Fußballfeldes

196

Durchmesser eines Atoms

197

Dicke eines menschlichen Haares

198

199

(% class="abc" %)

200

1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und begründe ihre Zuordnung zu den Beispielen.

201

1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.

202

203

204

{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}

205

(% class="abc" %)

206

1. Gib die Ergebnisse in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.

207

[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]

208

1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.

209

[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]

210

[[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]

211

212

213

{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Darstellungen vergleichen und bewerten" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet)" cc="BY-SA"}}

214

Gegeben ist die Zahl {{formula}}0{,}0004{{/formula}}.

215

216

(% style="list-style: alphastyle" %)

217

1. Stelle die Zahl als Zehnerpotenz und in Normdarstellung dar.

218

1. Gib eine weitere Darstellung mit negativem Exponenten an.

219

1. Vergleiche die Darstellungen und erläutere, welche Vorteile die Normdarstellung im Vergleich zur Dezimalschreibweise hat.

220

221

222

{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Muster erkennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Team Mathe-Arbeitsheft" cc="BY-SA"}}

223

Gegeben ist folgende Zahlenfolge:

224

225

| 1000 | 100 | 10 | 1 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |

226

227

(% style="list-style: alphastyle" %)

228

1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}10^n{{/formula}} dar.

229

230

1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.

231

232

1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.

233

234

1. Erläutere, warum Zehnerpotenzen besonders geeignet sind, um sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen.

235

236

237

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Wiki-Quellcode von BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

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		2
		3	[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit rationalen Exponenten in Wurzelausdrücke umwandeln und umgekehrt.
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		7
		8	== Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==
		9
		10	{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
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		12	1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}(-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4{{/formula}}.
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		25	1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
		26	1. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen {{formula}}(a^m)^n{{/formula}} und einer Potenz der Form {{formula}}a^k{{/formula}} und gib an, wie sich der Exponent {{formula}}k{{/formula}} aus {{formula}}m{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} ergibt.
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		31	1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
		32	1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
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		38	Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
		39	\| 16 \| 8 \| 4 \| 2 \| 1 \|
		40
		41	(% style="list-style: alphastyle" %)
		42	1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
		43	1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
		44	1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
		45	1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
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		48	{{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
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		54	{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
		55	Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
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		57	1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
		58	1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
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		62	{{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
		63	Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
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		67	Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
		68	S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
		69	S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
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		71	S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.
		72	S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.
		73	S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.
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		76	1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
		77	1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
		78	1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
		79	1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
		80	{{/aufgabe}}
		81
		82	{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
		83	Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
		84	G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
		85	G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
		86	G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
		87
		88	(% style="list-style: alphastyle" %)
		89	1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
		90	1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
		91	1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
		92	{{/aufgabe}}
		93
		94	== Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
		95
		96	{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		97	Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
		98	\| 256 \| 16 \| 4 \| 2 \| {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} \|
		99
		100	(% style="list-style: alphastyle" %)
		101	1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
		102	1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
		103	1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
		104	1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten //k// der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
		105	{{/aufgabe}}
		106
		107	{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		108	Gegeben sind die Gleichungen:
		109	{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
		110	(% style="list-style: alphastyle" %)
		111	1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
		112	1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
		113	1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
		114	{{/aufgabe}}
		115
		116	{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
		117	Ergänze die Wertetabelle:
		118
		119	\| {{formula}}2^4{{/formula}} \| {{formula}}2^2{{/formula}} \| {{formula}}2^1{{/formula}} \| {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} \| {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} \|
		120	\| 16 \| 4 \| 2 \| {{formula}}\square{{/formula}} \| {{formula}}\square{{/formula}} \|
		121	{{/aufgabe}}
		122
		123	{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
		124	Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
		125	(% style="list-style: alphastyle" %)
		126	1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
		127	1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
		128	1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
		129	{{/aufgabe}}
		130
		131	{{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
		132	Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.
		133	(% style="list-style: alphastyle" %)
		134	1. {{formula}}\sqrt{3^5}{{/formula}}
		135	1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}
		136	1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
		137	{{/aufgabe}}
		138
		139	== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
		140
		141	{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		142	Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
		143	\| {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} \| 2 \| {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} \| 4 \| {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} \|
		144
		145	(% style="list-style: alphastyle" %)
		146	1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
		147	1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
		148	1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
		149	1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
		150	{{/aufgabe}}
		151
		152	{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		153	Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
		154	{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
		155
		156	(% style="list-style: alphastyle" %)
		157	1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
		158	1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
		159	1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
		160	1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
		161	{{/aufgabe}}
		162
		163	{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		164	Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}}.
		165
		166	(% style="list-style: alphastyle" %)
		167	1. {{formula}}16^{\frac{3}{2}}{{/formula}}
		168	1. {{formula}}27^{\frac{2}{3}}{{/formula}}
		169	1. {{formula}}81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
		170	{{/aufgabe}}
		171
		172	{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
		173	Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
		174	(% style="list-style: alphastyle" %)
		175	1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
		176	1. {{formula}}\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}{{/formula}}
		177	1. {{formula}}\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}{{/formula}}
		178	1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
		179	{{/aufgabe}}
		180
		181	== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
		182
		183	{{aufgabe id="Normdarstellung prüfen und benennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
		184	Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
		185
		186	(% class="abc" %)
		187	1. Prüfe, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind, und korrigiere sie gegebenenfalls.
		188	1. Gib die zugehörigen Zahlennamen an.
		189	{{/aufgabe}}
		190
		191	{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="4"}}
		192	Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
		193
		194	Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
		195	Länge eines Fußballfeldes
		196	Durchmesser eines Atoms
		197	Dicke eines menschlichen Haares
		198
		199	(% class="abc" %)
		200	1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und begründe ihre Zuordnung zu den Beispielen.
		201	1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
		202	{{/aufgabe}}
		203
		204	{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
		205	(% class="abc" %)
		206	1. Gib die Ergebnisse in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
		207	[[image:Taschenrechnerdisplay.png\|\|width="100"]]
		208	1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
		209	[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png\|\|width="100"]]
		210	[[image:Taschenrechnerdisplay_2.png\|\|width="100"]]
		211	{{/aufgabe}}
		212
		213	{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Darstellungen vergleichen und bewerten" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet)" cc="BY-SA"}}
		214	Gegeben ist die Zahl {{formula}}0{,}0004{{/formula}}.
		215
		216	(% style="list-style: alphastyle" %)
		217	1. Stelle die Zahl als Zehnerpotenz und in Normdarstellung dar.
		218	1. Gib eine weitere Darstellung mit negativem Exponenten an.
		219	1. Vergleiche die Darstellungen und erläutere, welche Vorteile die Normdarstellung im Vergleich zur Dezimalschreibweise hat.
		220	{{/aufgabe}}
		221
		222	{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Muster erkennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Team Mathe-Arbeitsheft" cc="BY-SA"}}
		223	Gegeben ist folgende Zahlenfolge:
		224
		225	\| 1000 \| 100 \| 10 \| 1 \| {{formula}}\square{{/formula}} \| {{formula}}\square{{/formula}} \|
		226
		227	(% style="list-style: alphastyle" %)
		228	1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}10^n{{/formula}} dar.
		229
		230	1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
		231
		232	1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
		233
		234	1. Erläutere, warum Zehnerpotenzen besonders geeignet sind, um sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen.
		235	{{/aufgabe}}
		236
		237	{{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}

unfertig	fertig
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