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Version 299.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/27 00:34
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit rationalen Exponenten in Wurzelausdrücke umwandeln und umgekehrt.
4 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit negativen Exponenten in Bruchausdrücke umwandeln und umgekehrt.
5 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen in Normdarstellung angeben.
6 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen aus dem Makro- oder Mikrozahlenbereich als Zehnerpotenzen darstellen.
7
8 == Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==
9
10 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
11 (% style="list-style: alphastyle" %)
12 1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}(-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4{{/formula}}.
13 1. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.
14 {{/aufgabe}}
15
16 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
17 (% style="list-style: alphastyle" %)
18 1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2{{/formula}}.
19 1. Untersuche die Gleichung {{formula}}a^b = b^a{{/formula}}. Finde Beispiele und Gegenbeispiele.
20 {{/aufgabe}}
21
22 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
23 Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.
24 (% style="list-style: alphastyle" %)
25 1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
26 1. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen {{formula}}(a^m)^n{{/formula}} und einer Potenz der Form {{formula}}a^k{{/formula}} und gib an, wie sich der Exponent {{formula}}k{{/formula}} aus {{formula}}m{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} ergibt.
27 {{/aufgabe}}
28
29 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
30 (% style="list-style: alphastyle" %)
31 1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
32 1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
33 {{/aufgabe}}
34
35 == Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
36
37 {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
38 Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
39 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
40
41 (% style="list-style: alphastyle" %)
42 1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
43 1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
44 1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
45 1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
46 {{/aufgabe}}
47
48 {{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
49 Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
50 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
51 | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
52 {{/aufgabe}}
53
54 {{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
55 Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
56 (% style="list-style: alphastyle" %)
57 1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
58 1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
59 1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
60 {{/aufgabe}}
61
62 {{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
63 Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
64 {{/aufgabe}}
65
66 {{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
67 Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
68 S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
69 S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
70 S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
71 S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.
72 S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.
73 S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.
74
75 (% style="list-style: alphastyle" %)
76 1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
77 1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
78 1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
79 {{/aufgabe}}
80
81 {{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
82 Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
83
84 {{formula}}x^{-1} = -x,\quad x^{-1} = \frac{1}{x},\quad x^{-1} = x{{/formula}}
85
86 (% style="list-style: alphastyle" %)
87 1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
88 1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
89 1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
90 {{/aufgabe}}
91
92 == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
93
94 {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
95 Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
96 | 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} |
97
98 (% style="list-style: alphastyle" %)
99 1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
100 1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
101 1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
102 1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten //k// der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
103 {{/aufgabe}}
104
105 {{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
106 Gegeben sind die Gleichungen:
107
108 {{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
109
110 (% style="list-style: alphastyle" %)
111 1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
112 1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
113 1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
114 {{/aufgabe}}
115
116 {{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
117 Ergänze die Wertetabelle:
118
119 | {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
120 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
121 {{/aufgabe}}
122
123 {{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
124 Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
125 (% style="list-style: alphastyle" %)
126 1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
127 1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
128 1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
129 {{/aufgabe}}
130
131 {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
132 Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.
133 (% style="list-style: alphastyle" %)
134 1. {{formula}}\sqrt{3^5}{{/formula}}
135 1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}
136 1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
137 {{/aufgabe}}
138
139 == Potenzen mit rationalen Exponenten ==
140
141 {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
142 Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
143 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} |
144
145 (% style="list-style: alphastyle" %)
146 1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
147 1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
148 1. Ergänze die Folge nach links und rechts um je zwei Folgenglieder.
149 1. Ordne auch den vier neuen Zahlen jeweils eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
150 {{/aufgabe}}
151
152 {{aufgabe id="Rationale Exponenten – eine geeignete Definition begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
153 Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
154
155 {{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
156
157 (% style="list-style: alphastyle" %)
158 1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
159 1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
160 1. Beurteile, welche der beiden Darstellungen sich als allgemeine Definition für a^{m/n} eignet, und begründe deine Entscheidung.
161 {{/aufgabe}}
162
163 {{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
164 Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}}.
165 (% style="list-style: alphastyle" %)
166 1. {{formula}}16^{\frac{3}{2}}{{/formula}}
167 1. {{formula}}27^{\frac{2}{3}}{{/formula}}
168 1. {{formula}}81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
169 {{/aufgabe}}
170
171 {{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
172 Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
173 (% style="list-style: alphastyle" %)
174 1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
175 1. {{formula}}\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}{{/formula}}
176 1. {{formula}}\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}{{/formula}}
177 1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
178 {{/aufgabe}}
179
180 == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
181
182 {{aufgabe id="Gleicher Wert – verschiedene Darstellungen" afb="II-III" kompetenzen="K4, K5, K6" zeit="4" quelle="Rathgeb (überarbeitet)" cc="BY-SA"}}
183 Gegeben ist die Zahl {{formula}}3{,}1415{{/formula}}.
184
185 (% style="list-style: alphastyle" %)
186 1. Bestimme Darstellungen der Form {{formula}}a \cdot 10^n{{/formula}} für mindestens drei verschiedene Exponenten {{formula}}n{{/formula}}.
187 1. Beschreibe, wie sich {{formula}}a{{/formula}} verändert, wenn {{formula}}n{{/formula}} vergrößert bzw. verkleinert wird.
188 1. Formuliere einen Zusammenhang zwischen {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}}, der erklärt, warum alle Darstellungen denselben Wert besitzen.
189 {{/aufgabe}}
190
191 {{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Größen vergleichen und Strategie entwickeln" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="5" quelle="Rathgeb" cc="BY-SA"}}
192 Gegeben sind folgende Zahldarstellungen:
193
194 {{formula}}3 \cdot 10^5,\quad -7 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}2 \cdot 10^2,\quad -9 \cdot 10^{-5},\quad 3{,}5 \cdot 10^5{{/formula}}
195
196 (% style="list-style: alphastyle" %)
197 1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß).
198 1. Begründe deine Ordnung ausschließlich mithilfe der Exponenten und Vorfaktoren, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen.
199 1. Formuliere eine allgemeine Strategie zum Vergleich von Zahlen der Form {{formula}}\pm a \cdot 10^n{{/formula}}.
200 1. Begründe, warum diese Strategie unabhängig von der konkreten Zahl funktioniert.
201 {{/aufgabe}}
202
203 {{aufgabe id="Zahlen in der Form a·10^n darstellen und deuten" afb="II" kompetenzen="K4, K5, K6" zeit="4" quelle="Rathgeb (überarbeitet)" cc="BY-SA"}}
204 Gegeben sind Zahlen:
205
206 {{formula}}0{,}000034,\quad 3400000,\quad 0{,}00000012{{/formula}}
207
208 (% style="list-style: alphastyle" %)
209 1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}a \cdot 10^n{{/formula}} dar.
210 1. Vergleiche zwei deiner Darstellungen und erläutere, welche Information jeweils durch {{formula}}a{{/formula}} und durch {{formula}}10^n{{/formula}} gegeben wird.
211 1. Beschreibe den Zusammenhang zwischen der Verschiebung des Kommas und der Multiplikation mit {{formula}}10^n{{/formula}} so, dass damit alle deine Darstellungen erklärt werden können.
212 {{/aufgabe}}
213
214 {{aufgabe id="Normdarstellung – Notwendigkeit erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="4" quelle="Rathgeb" cc="BY-SA"}}
215 Gegeben sind Darstellungen:
216
217 {{formula}}0{,}000034,\quad 3{,}4 \cdot 10^{-5},\quad 34 \cdot 10^{-6},\quad 0{,}34 \cdot 10^{-4}{{/formula}}
218
219 (% style="list-style: alphastyle" %)
220 1. Untersuche, ob die Darstellungen denselben Zahlenwert besitzen, und begründe dein Ergebnis.
221 1. Vergleiche die Darstellungen hinsichtlich ihrer Eignung zur schnellen Bestimmung der Größenordnung.
222 1. Wähle eine geeignete Darstellung aus und begründe deine Entscheidung.
223 {{/aufgabe}}
224
225 {{aufgabe id="Normdarstellung – Fehler erkennen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Rathgeb" cc="BY-SA"}}
226 Gegeben sind Vorschläge:
227
228 * {{formula}}0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
229 * {{formula}}0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}{{/formula}}
230 * {{formula}}4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}{{/formula}}
231 * {{formula}}4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}{{/formula}}
232
233 (% style="list-style: alphastyle" %)
234 1. Prüfe die Darstellungen und korrigiere falsche.
235 1. Begründe deine Korrekturen.
236 1. Formuliere Bedingungen für eine Normdarstellung der Form {{formula}}a \cdot 10^n{{/formula}} und erläutere, warum diese Bedingungen eine eindeutige Darstellung gewährleisten.
237 {{/aufgabe}}
238
239 {{aufgabe id="Normdarstellung – Größe und Genauigkeit unterscheiden" afb="III" kompetenzen="K1, K4, K6" zeit="3" quelle="Rathgeb (neu)" cc="BY-SA"}}
240 Gegeben sind Darstellungen:
241
242 {{formula}}3{,}4 \cdot 10^6 \quad \text{und} \quad 3{,}40 \cdot 10^6{{/formula}}
243
244 (% style="list-style: alphastyle" %)
245 1. Vergleiche die beiden Darstellungen hinsichtlich ihres Zahlenwertes.
246 1. Erläutere, welche Information sich in der Mantisse unterscheidet.
247 1. Begründe, warum beide Darstellungen trotz unterschiedlicher Mantisse denselben Zahlenwert besitzen.
248 {{/aufgabe}}
249
250 {{aufgabe id="Normdarstellung und WTR-Darstellung" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Rathgeb (überarbeitet)" cc="BY-SA"}}
251
252 (% style="list-style: alphastyle" %)
253 1. (((Gegeben sind Anzeigen eines Taschenrechners (sog. SCI-Notation):
254
255 [[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="120"]]
256 [[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="120"]]
257
258 1. Gib die dargestellten Zahlen jeweils in Normdarstellung an.
259 1. Gib die Zahlen zusätzlich in Dezimalschreibweise an.
260 )))
261 1. (((Gegeben sind Zahlen in Normdarstellung (sog. wissenschaftliche Notation):
262
263 {{formula}}3{,}2 \cdot 10^5,\quad 7{,}5 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}04 \cdot 10^8{{/formula}}
264
265 1. Gib diese Zahlen in der vom Taschenrechner verwendeten Schreibweise (SCI-Notation) an.
266 1. Vergleiche die beiden Darstellungsformen und benenne einen Unterschied in ihrer Schreibweise.
267 )))
268 1. (((In einer Messsituation werden zwei Ergebnisse angegeben:
269
270 {{formula}}3{,}4 \cdot 10^6 \text{ m} \quad \text{und} \quad 3{,}40 \cdot 10^6 \text{ m}{{/formula}}
271
272 1) Vergleiche die beiden Angaben hinsichtlich ihres Zahlenwertes.
273 1) Erläutere, welche Information sich in der Darstellung unterscheidet.
274 1) Beurteile, welche Darstellung in einer Messsituation geeigneter ist, und begründe deine Entscheidung.
275 )))
276 {{/aufgabe}}