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Version 4.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/24 13:58
Verstecke letzte Bearbeiter
Martin Rathgeb 1.1 1 (% style="list-style: alphastyle" %)
2 1. (((//Vergleich//:
Martin Rathgeb 3.1 3 * (((Für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}}:
Martin Rathgeb 1.1 4 * {{formula}}(16^{\frac12})^3 = 4^3 = 64{{/formula}}
5 * {{formula}}(16^3)^{\frac12} = \sqrt{4096}=64{{/formula}}
6 )))
Martin Rathgeb 3.1 7 * ((Für {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}:
Martin Rathgeb 1.1 8 * {{formula}}(8^{\frac13})^2 = 2^2 = 4{{/formula}}
9 * {{formula}}(8^2)^{\frac13} = \sqrt[3]{64}=4{{/formula}}
10 )))
11 In beiden Fällen liefern die Darstellungen denselben Wert.
12 )))
13 1. (((//Zwei weitere Beispiele//:
Martin Rathgeb 4.1 14 * ((({{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}:
Martin Rathgeb 1.1 15 * {{formula}}((-8)^{\frac13})^2 = (-2)^2 = 4{{/formula}}
16 * {{formula}}((-8)^2)^{\frac13} = 64^{\frac13}=4{{/formula}}
17 Hier stimmen die Ergebnisse überein.
18 )))
Martin Rathgeb 4.1 19 * (((Betrachtet man jedoch {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=6{{/formula}}:
Martin Rathgeb 1.1 20 * {{formula}}((-8)^2)^{\frac16} = 64^{\frac16} = 2{{/formula}} ist definiert.
21 * {{formula}}((-8)^{\frac16})^2{{/formula}} hingegen ist in den reellen Zahlen nicht definiert, da {{formula}}(-8)^{\frac16}{{/formula}} nicht existiert.
22 )))
23 ⇒ Die beiden Darstellungen liefern nicht immer denselben Wert bzw. sind nicht immer beide definiert.
24 )))
25 1. (((Die Darstellung {{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} ist als Definition vorzuziehen.
26 //Begründung//:
27 * Sie knüpft direkt an die Bedeutung von {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} als n-te Wurzel an und legt fest, dass zunächst diese eindeutig bestimmte Zahl gebildet und anschließend potenziert wird.
28 * Für {{formula}}a \ge 0{{/formula}} stimmen beide Darstellungen überein, da gilt:
29 {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
30 * Bei negativen Basen können jedoch Unterschiede auftreten, insbesondere wenn der Nenner {{formula}}n{{/formula}} gerade ist, da dann {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} nicht definiert ist.
31
32 Die erste Darstellung macht diese Einschränkung transparent und ist daher als allgemeine Definition geeigneter.
33 )))