Änderungen von Dokument Lösung Pyramide in Würfel

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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1	1	{{aufgabe id="Pyramide in Würfel" afb="III" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Reinhard Ansorge" zeit="15"}}
2	2
	3	+In einem Würfel mit Kantenlänge a = 10 cm steht eine senkrechte und quadratische Pyramide gleicher Höhe, deren Bodenecken identisch mit den Seitenmitten der Grundfläche des Würfels sind.
3	3	(%class=abc%)
4		-1. {{formula}}V_{Würfel}{{/formula}} = a³ = (10 cm)³ = 1.000 cm³ = 1dm³ = 1 Liter
5		- {{formula}}V_{Pyramide}{{/formula}} = 1/3 ∙ G ∙ h = 1/3 ∙ b² ∙ 10 cm = …
6		-
	5	+
	6	+1. V_{Würfel} = a³ = (10 cm)³ = 1.000 cm³ = 1dm³ = 1 Liter
	7	+ V_{Pyramide} = 1/3 ∙ G ∙ h = 1/3 ∙ b² ∙ 10 cm = …
7	7	Pythagoras: b² = (a/2)² + (a/2)² = 2 ∙ (a/2)² = 2 ∙ a²/4 = a²/2 = (10 cm)²/2 = 50 cm²
8	8	… = 1/3 ∙ 50 cm² ∙ 10 cm = 500/3 cm³ ≈ 166,67 cm³
	10	+ V_{Würfel} : V_{Pyramide} = 1.000 cm³ : 166,66… cm³ = 6 : 1
9	9
10		- {{formula}}V_{Würfel}{{/formula}} : {{formula}}V_{Pyramide}{{/formula}} = 1.000 cm³ : 166,66… cm³ = 6 : 1
11		-
12		-1. {{formula}}O_{Würfel}{{/formula}} = 6a² = 6 ∙ (10 cm)² = 600 cm²
13		- {{formula}}O_{Pyramide}{{/formula}} = G + 4 ∙ b ∙ hb = 50 cm² + 4 ∙ √50 cm ∙ hb = …
14		-
15		- Pythagoras: {{formula}}h_b²{{/formula}} = (b/2)² + h² = (√50 cm / 2)² + (10 cm)² = 112,5 cm² | √
16		- {{formula}}h_b{{/formula}} = √(112,5 cm²) ≈ 10,61 cm
17		-
	12	+1. O_{Würfel} = 6a² = 6 ∙ (10 cm)² = 600 cm²
	13	+ O_{Pyramide} = G + 4 ∙ b ∙ hb = 50 cm² + 4 ∙ √50 cm ∙ hb = …
	14	+ Pythagoras: hb² = (b/2)² + h² = (√50 cm / 2)² + (10 cm)² = 112,5 cm² | √
	15	+ hb = √(112,5 cm²) ≈ 10,61 cm
18	18	… = 50 cm² + 4 ∙ √50 cm ∙ √(112,5 cm²) = 50 cm² + 4 ∙ 75 cm² = 350 cm²
19	19
20		-{{formula}}O_{Pyramide}{{/formula}} / {{formula}}O_{Würfel}{{/formula}} = 350 cm² / 600 cm² = 7/12, d.h. die O der Pyramide ist um 5/12 = 0,4166… ≈ 41,67 % kleiner als die des Würfels.
	18	+1. O_{Pyramide} / O_{Würfel} = 350 cm² / 600 cm² = 7/12, d.h. die O der Pyramide ist um 5/12 = 0,4166… ≈ 41,67 % kleiner als die des Würfels.
21	21
22		-1. {{formula}}V_{Pyramide}{{/formula}} = 1/3 ∙ b² ∙ h = 1/3 ∙ 50 cm² ∙ h = 1.000 cm³ , d.h. h = (1.000 cm³) / (1/3 ∙ 50 cm²) = 1.000 cm³ ∙ (3 / (50 cm²)) = 3.000 / 50 cm = 60 cm
23		-1. {{formula}}V_{Würfel}{{/formula}} = a³ = 167,67 cm³, d.h. a = ∛167,67 cm ≈ 5,51 cm
	20	+1. V_{Pyramide} = 1/3 ∙ b² ∙ h = 1/3 ∙ 50 cm² ∙ h = 1.000 cm³ , d.h. h = (1.000 cm³) / (1/3 ∙ 50 cm²) = 1.000 cm³ ∙ (3 / (50 cm²)) = 3.000 / 50 cm = 60 cm
	21	+1. V_{Würfel} = a³ = 167,67 cm³, d.h. a = ∛167,67 cm ≈ 5,51 cm
24	24
25	25	{{/aufgabe}}
26	26