Lösung Gleichungssystem A
Da die beiden Gleichungen bereits nach \(y\) aufgelöst sind, bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an. Das heißt, wir setzen die beiden Gleichungen gleich und lösen dann nach \(x\) auf:
\[\begin{align*} 3x-7&=-x+5 &&\mid +x \ \mid +7\\ 4x&=12 &&\mid :4 \\ x&=3 \end{align*}\]Nun setzen wir \(x=3\) in eine der ursprünglichen Gleichungen (zum Beispiel in die zweite) ein und erhalten für \(y\): \(y=-3+5=2\).
Die Lösung ist somit \(x=3\) und \(y=2\) (\(\text{L}=(3|2)\)).
Da eine der Gleichungen bereits nach einer Variablen aufgelöst ist, bietet sich das Einsetzungsverfahren an. Wir setzen dazu \(y=-\frac{1}{2}x-2\) in die zweite Gleichung ein und erhalten für \(x\):
\[\begin{align*} 3x+2 \left(-\frac{1}{2}x-2\right)&=2 \\ 3x-x-4&=2 \\ 2x-4&=2 &&\mid +4 \\ 2x&=6 &&\mid :2 \\ x&=3 \end{align*}\]Jetzt setzen wir \(x=3\) in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen (zum Beispiel die erste) ein und erhalten: \(y=-\frac{1}{2}3-2=-\frac{7}{2}\).
Die Lösung ist somit \(x=3\) und \(y=-\frac{7}{2}\) (\(\text{L}=\left(3\bigl|-\frac{7}{2}\right)\)).
Da in beiden Gleichungen der Term \(3x\) vorkommt, eignet sich das Additionsverfahren.
Dazu multiplizieren wir eine der Gleichungen (zum Beispiel die erste) mit -1 durch, um so entgegengesetzte Terme zu erhalten und addieren dann die beiden Gleichungen (alternativ kann man die beiden Gleichungne auch direkt von einander subtrahieren):\[\begin{align*} \frac{3}{2}y+3x&=\frac{9}{2} \mid \cdot(-1) \\ -\frac{3}{2}y-3x&=-\frac{9}{2} \end{align*}\]Addition der Gleichungen:
\[\begin{align*} \left(-\frac{3}{2}y-3x\right)+(2,5y+3x)&=-\frac{9}{2}+\frac{3}{2} \\ y&=-3 \end{align*}\]Jetzt setzen wir \(y=-3\) in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen (zum Beispiel die erste) ein und erhalten:
\[\begin{align*} \frac{3}{2}(-3)+3x&=\frac{9}{2} \\ -\frac{9}{2}+3x&=\frac{9}{2} &&\mid + \frac{9}{2} \\ 3x&=9 &&\mid :3 \\ x&=3 \end{align*}\]Die Lösung ist somit \(x=3\) und \(y=-3\) (\(\text{L}=(3|-3)\)).