Lösung Sekante, Tangente, Passante in Abhängigkeit von t
Zuletzt geändert von akukin am 2025/06/05 14:31
Lösung mit der pq-Formel:
\[\begin{align*}
&tx^2 - 2 = 0,5x + 1 \\
&tx^2 - 0,5x - 3 = 0 \quad |\, :t \neq 0 \\
&x^2 - \frac{1}{2t}x - \frac{3}{t} = 0 \\
&x_{1/2} = \frac{1}{4t} \pm \sqrt{\frac{1}{16t^2} + \frac{3}{t}}
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
D=0: \frac{1}{16t^2} + \frac{3}{t} &= 0 \iff t = -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Tangente} \\
D>0: \frac{1}{16t^2} + \frac{3}{t} &> 0 \iff t > -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Sekante} \\
D<0: \frac{1}{16t^2} + \frac{3}{t} &< 0 \iff t < -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Passante}
\end{align*}\]
Überprüfung für \(t = 0\) nötig, da die obige Rechnung unter der Annahme \(t\neq 0\) durchgeführt wurde:
Aus \(t>-\frac{1}{48}\) folgt, dass bei \(t = 0\) ein Schnittpunkt vorliegt. Allerdings handelt es sich nicht mehr um Schnittpunkte einer Parabel und einer Gerade, sondern um einen Schnittpunkt zweier Geraden.
Lösung mit der abc-Formel(Mitternachtsformel):
\[\begin{align*}
&tx^2 - 0,5x - 3 = 0 \\
&x_{1/2} = \frac{-(-0,5) \pm \sqrt{(0,5)^2 - 4 \cdot t \cdot (-3)}}{2t} \\
&x_{1/2} = \frac{0,5 \pm \sqrt{0,25 + 12t}}{2t}
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
D=0: 0,25 + 12t &= 0 \iff t = -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Tangente} \\
D>0: 0,25 + 12t &> 0 \iff t > -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Sekante} \\
D<0: 0,25 + 12t &< 0 \iff t < -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Passante}
\end{align*}\]
\end{document}