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Lösung Parabeln finden

Zuletzt geändert von akukin am 2025/06/04 21:32
  1. Für den Fall „keinen gemeinsamen Punkt“ bzw. „zwei Schnittpunkte“ kann man Parabeln wählen, die ihren Scheitel in P haben und nach oben, bzw. nach unten offen sind.
    Für den Fall „ein Berührpunkt“ kann man z.B. eine verschobene Normalparabel (Schablone) konstruieren.
  2. „Keinen gemeinsamen Punkt“: Es gibt unendlich viele Parabeln.
    „Ein Berührpunkt“: Es gibt zwei mögliche verschobene Normalparabeln. Lässt man einen Formfaktor zu, gibt es unendlich viele Möglichkeiten.
    „Zwei Schnittpunkte“: Es gibt unendlich viele Parabeln.

  3. „Keinen gemeinsamen Punkt“: z.B. y = (x - 1)^2 + 4; P ist der Scheitel
    (Alternativ: y = x^2 + 3; wegen 4 = 1^2 + 3 liegt P auf der Parabel.)
    Dass es keinen Schnittpunkt gibt, kann man durch Schneiden der Parabel und der Geraden mit der Gleichung y = x + 2 prüfen. Die zugehörige Gleichung besitzt keine Lösung.

    „Zwei Schnittpunkte“: z.B. y = - x^2 + 3
    Kontrolle wie oben durch Gleichsetzen. Es gibt zwei Lösungen.

    „Ein Berührpunkt“:
    Ansatz für verschobene Normalparabel y = x^2 + b x + c
    Parabel geht durch P:  4 = 1 + b + c, also c = 3-b

    Schneiden von Parabel und Gerade:  

    \begin{align*} &x^2 + bx + 3 - b = x + 2 \\ \Leftrightarrow \ & x^2 + (b - 1)x + 1 - b = 0 \\ \Leftrightarrow \ & x_{1,2} = \frac{1 - b \pm \sqrt{(b - 1)^2 - 4(1 - b)}}{2} \end{align*}

    Betrachtung der Diskriminante:  
    (b-1)^2-4(1-b)= 0 \ \Leftrightarrow \ b = 1 \ \vee \ b = - 3

    Für b = 1 ergibt sich c = 2 und damit die Parabel mit der Gleichung y = x^2 + x + 2.
    Für b = - 3 ergibt sich c = 6 und damit die Parabel mit der Gleichung y = x^2 - 3 x + 6.

    d) Hugo hat nicht Recht, denn die Tangente durch den Scheitel ist parallel zur x-Achse, die gegebene Gerade dagegen hat Steigung 1.