Lösung Parabeln finden
- Für den Fall „keinen gemeinsamen Punkt“ bzw. „zwei Schnittpunkte“ kann man Parabeln wählen, die ihren Scheitel in P haben und nach oben, bzw. nach unten offen sind.
Für den Fall „ein Berührpunkt“ kann man z.B. eine verschobene Normalparabel (Schablone) konstruieren. - „Keinen gemeinsamen Punkt“: Es gibt unendlich viele Parabeln.
„Ein Berührpunkt“: Es gibt zwei mögliche verschobene Normalparabeln. Lässt man einen Formfaktor zu, gibt es unendlich viele Möglichkeiten.
„Zwei Schnittpunkte“: Es gibt unendlich viele Parabeln. - d) Hugo hat nicht Recht, denn die Tangente durch den Scheitel ist parallel zur x-Achse, die gegebene Gerade dagegen hat Steigung 1.
„Keinen gemeinsamen Punkt“: z.B. \(y = (x - 1)^2 + 4;\) P ist der Scheitel
(Alternativ: \(y = x^2 + 3\); wegen \(4 = 1^2 + 3\) liegt P auf der Parabel.)
Dass es keinen Schnittpunkt gibt, kann man durch Schneiden der Parabel und der Geraden mit der Gleichung \(y = x + 2\) prüfen. Die zugehörige Gleichung besitzt keine Lösung.
„Zwei Schnittpunkte“: z.B. \(y = - x^2 + 3 \)
Kontrolle wie oben durch Gleichsetzen. Es gibt zwei Lösungen.
„Ein Berührpunkt“:
Ansatz für verschobene Normalparabel \( y = x^2 + b x + c\)
Parabel geht durch P: \(4 = 1 + b + c\), also \(c = 3-b\)Schneiden von Parabel und Gerade:
\[ \begin{align*} &x^2 + bx + 3 - b = x + 2 \\ \Leftrightarrow \ & x^2 + (b - 1)x + 1 - b = 0 \\ \Leftrightarrow \ & x_{1,2} = \frac{1 - b \pm \sqrt{(b - 1)^2 - 4(1 - b)}}{2} \end{align*}\]Betrachtung der Diskriminante:
\((b-1)^2-4(1-b)= 0 \ \Leftrightarrow \ b = 1 \ \vee \ b = - 3\)Für \(b = 1\) ergibt sich \(c = 2\) und damit die Parabel mit der Gleichung \(y = x^2 + x + 2\).
Für \(b = - 3\) ergibt sich \(c = 6\) und damit die Parabel mit der Gleichung \(y = x^2 - 3 x + 6\).