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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.akukin
1 +XWiki.martinawagner
Inhalt
... ... @@ -1,110 +1,179 @@
1 +{{aufgabe id="Kombinatorik" afb="III" Kompetenzen="K2, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
2 +[[image:10-seitiger Würfel.jpg||width="120" style="float: right"]]Fünf zehnseitige Würfel (mit den Zahlen 1–10) werden gleichzeitig in einem Würfelbecher geworfen. Für jeden Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl 10%.
1 1  
2 -{{aufgabe id="Skate-Rampe" afb="" zeit="" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc=""}}
3 -Die folgende Abbildung zeigt eine Skate-Rampe.
4 +Untersuche, wie viele unterschiedliche Wurfbilder geworfen werden können. (unterschiedlich im Sinne von alle verschieden, zwei gleiche, ..., alle gleich)
4 4  
5 -[[image:Skate-Rampe.PNG||width="450"]]
6 -(% style="font-size: 0.8em;" %)**Abb.: Skate-Rampe** (vgl. Haas & Morath (2006) (Hrsg.). //„Anwendungsorientierte Aufgaben für die Sekundarstufe II“(S.39)//. Braunschweig: Westermann Verlag.)
6 +(% style="text-align: right" %)
7 +,,**Bild: ** [[Dietmar Rabich>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:XRay]], [[Würfel, pentagonales Trapezoeder>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Würfel,_pentagonales_Trapezoeder_(W10)_--_2021_--_5627.jpg]], Ausschnitt, [[CC BY-SA 4.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/legalcode]],,
8 +{{/aufgabe}}
7 7  
8 -Die Rampe ist massiv aus Beton gegossen. Diskutiere Möglichkeiten, das Gewicht der Rampe nur anhand der Abbildung und der Dichte von Beton (zwischen 1,5 und 2,5 g/cm^^3^^) abzuschätzen.
10 +{{aufgabe id="Uneigentliches Integral" afb="III" Kompetenzen="K2, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
11 +Betrachtet wird für negative rationale Zahlen //q// die Potenzfunktion //p// mit {{formula}}p(x)=x^q;\: x\neq 0{{/formula}}.
9 9  
10 -{{lehrende}}
11 -**Variante:** Offene Aufgabe für den Unterricht/für einen größeren Klassenarbeitsteil
12 -Wie schwer wäre sie, wenn man sie massiv aus Beton gießen würde?
13 -**Information:** Die Dichte von Beton liegt zwischen 1,5 und 2,5 g/cm^^3^^
14 -{{/lehrende}}
15 -{{/aufgabe}}
13 +Für {{formula}}b \rightarrow \infty{{/formula}} heißt {{formula}}U_q=\int_1^b{p(x)}\cdot dx{{/formula}} //uneigentliches Integral// über //p//, falls {{formula}}U_q{{/formula}} eine reelle Zahl ergibt.
16 16  
15 +Überprüfe, für welche Werte von //q// das uneigentliche Integral {{formula}}U_q{{/formula}} existiert.
17 17  
18 -{{aufgabe id="Spielzeug-Holzbrücke Symmetrie" afb="III" kompetenzen="K1, K3, K4, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/erhoeht/2021_M_erhoeht_B_5.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
19 -Die Abbildung zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.
17 +[[image:x hoch minus 2.png]]
18 +{{/aufgabe}}
20 20  
21 -[[image:SpielzeugHolzbrücke.png||width="750"]]
20 +{{aufgabe id="Glücksrad" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
21 +[[image:Glücksrad.svg||width="180" style="float: right"]]Ein Glücksrad mit einem roten Gewinnbereich von einem Viertel wird so gedreht, dass es in einer völlig zufälligen Position zum Stillstand kommt. Einen Beobachter interessiert, wie groß der Abstand der Halteposition (grünes Dreieck in der Skizze) zum Gewinnbereich ist. Er misst den Abstand in Grad.
22 22  
23 -Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}f: x \mapsto \frac{1}{20} x^4-\frac{2}{5}x^2+1{{/formula}} beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.
23 +So ist der Abstand z.B. 0°, falls das Glücksrad im Gewinnbereich zum Stillstand kommt und 90°, falls es nach einem Drittel oder zwei Dritteln des Verlustbereichs zum Stillstand kommt.
24 24  
25 -Während der Planung der Brückenform kamen zur Beschreibung der oberen Randlinie für das linke Bauteil eine Funktion {{formula}}g_l{{/formula}} und für das rechte Bauteil eine Funktion {{formula}}g_r{{/formula}} infrage. Auch bei Verwendung dieser Funktionen wäre die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen.
25 +Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Zeichnung den Erwartungswert dieses Abstands bei einmaliger Drehung des Glücksrads.
26 +{{/aufgabe}}
26 26  
27 -1. Beurteile jede der folgenden Aussagen:
28 -I: {{formula}}-g_l(x)=g_r(-x){{/formula}} für {{formula}}-2\leq x \leq -1{{/formula}}
29 -II: {{formula}}g_l(x-1)=g_r(-x+1){{/formula}} für {{formula}}-1\leq x\leq 0{{/formula}}
28 +{{aufgabe id="Annäherung" afb="III" Kompetenzen="K2, K5, K4" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
29 +[[image:cos und pot.png|| style="float: right" width="320"]]In {{formula}}[0; \pi/2]{{/formula}} soll die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\cos{x}{{/formula}} durch eine Potenzfunktion //g// mit {{formula}}g(x)=1-ax^q{{/formula}} angenähert werden, wobei //q// eine positive rationale Zahl ist und //a// so gewählt wird, dass der Graph von //g// ebenfalls bei //π/2// eine Nullstelle besitzt.
30 30  
31 -Die Form und die Größe der Brücke werden verändert, indem im bisher verwendeten Modell die obere Randlinie des Längsschnitts mithilfe der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}k:x\mapsto\frac{3}{5} \cdot \cos(\frac{\pi}{3}x)+\frac{4}{5}{{/formula}} beschrieben wird. Die Bauteile der veränderten Brücke lassen sich nach dem in der folgenden Abbildung dargestellten Prinzip aus einem quaderförmigen Holzblock sägen. Der beim Sägen auftretende Materialverlust soll im Folgenden vernachlässigt werden.
31 +(% style="list-style: alphastyle" %)
32 +1. Bestimme //a// in Abhängigkeit von //q//.
33 +1. (((Begründe, weshalb ein kleiner Wert des Integrals
32 32  
33 -[[image:SpielzeugHolzbrückegesägt.png||width="750"]]
35 +{{formula}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)-g(x)\cdot dx{{/formula}}
36 +
37 +ein guter Hinweis dafür ist, dass //g// eine gute Näherung für //f// ist.
34 34  )))
35 -(% style="list-style:" start="2" %)
36 -1. Der Graph von {{formula}}k{{/formula}} ist symmetrisch bezüglich jedes seiner Wendepunkte. Beschreibe, wie diese Eigenschaft mit dem in der 2. Abbildung dargestellten Prinzip zusammenhängt.
37 -1. Ermittle mithilfe des Funktionsterms von {{formula}}k{{/formula}} den Flächeninhalt der gesamten in der 2. Abbildung gezeigten rechteckigen Vorderseite des Holzblocks.
39 +1. Finde eine Potenzfunktion //g//, die //f// gemäß des Kriteriums von b) gut annähert.
40 +
41 +(Bonus: Stelle //f// und die Annäherung aus c) mit Geogebra dar und berechne die durchschnittliche Abweichung von //f// und der Annäherungsfunktion.)
38 38  {{/aufgabe}}
39 39  
40 -{{aufgabe id="Funktionsschar Graph" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_5.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
41 -Betrachtet wird die Schar der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}f_a{{/formula}} mit {{formula}}f_a\left(x\right)=x\cdot e^{a\cdot x}, \ a\in\mathbb{R}, \ a\neq0{{/formula}}. Für jeden Wert von {{formula}}a{{/formula}} besitzt die Funktion {{formula}}f_a{{/formula}} genau eine Extremstelle.
44 +{{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" Kompetenzen="K2, K1, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
45 +Paul, Sevda und Lucie wiederholen die Integralfunktion. Sie haben verstanden, dass jede Integralfunktion {{formula}}I_a{{/formula}} einer Funktion //f// auch Stammfunktion derselben Funktion //f// ist. In der Lerngruppe herrscht nun jedoch Uneinigkeit darüber, ob umgekehrt jede Stammfunktion auch Integralfunktion ist.
42 42  
43 -1. Begründe, dass der Graph von {{formula}}f_a{{/formula}} für {{formula}}x<0{{/formula}} unterhalb der //x//-Achse verläuft.
44 -1. Beide Abbildungen zeigen einen Graphen der Schar, einen der beiden für einen positiven Wert von {{formula}}a{{/formula}}. Entscheide, welche Abbildung dies ist, und begründe deine Entscheidung.
45 -[[image:Graphenfunktionsschar.png||width="550" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
47 +* Paul behauptet, dies sei für jede Funktion //f// der Fall.
48 +* Sevda meint dagegen, jede Funktion besäße auch Stammfunktionen, die //keine// Integralfunktionen sind.
49 +* Lucie zuletzt ist der Auffassung, dass es von der Funktion abhänge.
46 46  
47 -__Hinweis__:
48 -Der Begriff „Schar“ beziehungsweise „Funktionsschar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig.
51 +Begründe zunächst, weshalb jede Integralfunktion von //f// auch Stammfunktion von //f// ist. Überprüfe dann, wer Recht hat.
52 +{{/aufgabe}}
49 49  
50 -**Eine bildungsplankonforme Variante wäre zum Beispiel**:
51 -Betrachtet wird die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=x\cdot e^{a\cdot x}{{/formula}}. Dabei ist {{formula}}a\in\mathbb{R}, \ a\neq0{{/formula}} eine feste Zahl. Die Funktion {{formula}}f{{/formula}} besitzt genau eine Extremstelle.
54 +{{aufgabe id="Integralfunktion2" afb="III" Kompetenzen="K2, K1, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
55 +//f// bezeichnet im Folgenden eine im ganzen Definitionsbereich **D** knickfreie Funktion.
52 52  
53 -1. Begründe, dass der Graph von {{formula}}f{{/formula}} für {{formula}}x<0{{/formula}} unterhalb der //x//-Achse verläuft.
54 -1. Beide Abbildungen zeigen einen Graphen für zwei unterschiedliche Werte von {{formula}}a{{/formula}}, einen der beiden für einen positiven Wert von {{formula}}a{{/formula}}. Entscheide, welche Abbildung dies ist, und begründe deine Entscheidung.
55 -[[image:Graphenfunktionsschar.png||width="550" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
57 +Streng steigende Monotonie ist für //f// wie folgt definiert:
58 +Wenn für alle {{formula}}a, b \in \textbf{D}{{/formula}} mit {{formula}}a<b{{/formula}} gilt: {{formula}}f(a)<f(b){{/formula}}, heißt //f// streng monoton steigend.
59 +
60 +Aus dem Unterricht wissen wir, dass wir streng steigende Monotonie auch wie folgt untersuchen können:
61 +Wenn für alle {{formula}}x \in \textbf{D}{{/formula}} gilt: {{formula}}f'(x)>0{{/formula}}, dann ist //f// streng monoton steigend.
62 +
63 +Zeige mit Hilfe einer geeigneten Funktion //f// folgende Aussage:
64 +Eine Funktion kann auch dann streng monoton steigend sein, wenn {{formula}}f'(x)>0{{/formula}} nicht für alle {{formula}}x \in \textbf{D}{{/formula}} gilt.
56 56  {{/aufgabe}}
57 57  
58 -{{aufgabe id="Rechteck im Graphen" afb="" kompetenzen="K1,K2,K4,K5,K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_7.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
59 -Für eine Zahl {{formula}}a>0{{/formula}} zeigt die Abbildung den Graphen {{formula}}G{{/formula}} der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=x^3-2ax^2+a^2x{{/formula}} sowie die Gerade {{formula}}h{{/formula}}. {{formula}}G{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}}schneiden sich im Koordinatenursprung und {{formula}}h{{/formula}} verläuft senkrecht zur Tangente an {{formula}}G{{/formula}} im Koordinatenursprung. Zudem berühren sich {{formula}}G{{/formula}} und die //x//-Achse im Punkt {{formula}}\left(a\middle|0\right){{/formula}}.
60 -Betrachtet wird dasjenige Rechteck, das die folgenden Eigenschaften besitzt:
61 -* Die beiden gemeinsamen Punkte von {{formula}}G{{/formula}} und der //x//-Achse sind zwei benachbarte Eckpunkte des Rechtecks.
62 -* Eine Diagonale liegt auf der Geraden {{formula}}h{{/formula}}.
67 +{{aufgabe id="Lichtschalterproblem" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
68 +[[image:Lichtschalter_mechanisch.jpg||style="float: right" width="200"]]Ein Hotel hat 100 Zimmer mit den Nummern 1 bis 100 und 100 Gäste. Jedes Zimmer hat einen Lichtschalter, der das Licht einschaltet, wenn es aus ist und es ausschaltet, wenn es an ist.
63 63  
64 -Skizziere das Rechteck in der Abbildung und zeige, dass der Flächeninhalt des Rechtecks unabhängig von {{formula}}a{{/formula}} ist.
70 +Zunächst sind alle Lichter ausgeschaltet.
65 65  
66 -[[image:FunktionRechteck.PNG||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
72 +Dann geht jeder Gast der Reihe nach durch jedes Zimmer:
67 67  
74 +* Gast 1 drückt den Schalter jedes Zimmers.
75 +* Gast 2 drückt den Schalter jedes zweiten Zimmers, also von Zimmer 2, 4, 6, …
76 +* Gast 3 drückt den Schalter jedes dritten Zimmers, also von Zimmer 3, 6, 9, …
77 +* Gast 4…
78 +* …
79 +* Gast 100 drückt den Schalter jedes hundertsten Zimmers, also nur von Zimmer 100.
80 +
81 +Beschreibe, wie für ein frei gewähltes Zimmer n (1 ≤ n ≤ 100) geprüft werden kann, ob nach dem Durchgang des letzten Gastes das Licht aus- oder eingeschaltet ist.
82 +
83 +(Bonus: Simuliere das Lichtschalter-Problem mit einer Tabellenkalkulation oder mithilfe einer Programmiersprache und überprüfe, welche Lichter nach dem kompletten Durchlauf aus sind.)
84 +
85 +(% style="text-align: right" %)
86 +,,**Bild: ** [[4028mdk09>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:4028mdk09">4028mdk09]], [[Lichtschalter mechanisch>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lichtschalter_mechanisch.JPG]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]],,
68 68  {{/aufgabe}}
69 69  
70 -{{aufgabe id="Kamelaufgabe" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
71 -Ein Scheich hatte in seinem Testament bestimmt,
72 -dass der älteste Sohn die Hälfte, der zweite Sohn ein Drittel und der dritte Sohn ein Neuntel der Kamele des Scheichs erhalten sollten.
89 +{{aufgabe id="Türme von Hanoi" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
90 +[[image:Tower_of_Hanoi.jpg||width="300" style="float: right"]]Die „Türme von Hanoi“ sind ein altes asiatisches Rätselspiel, welches im 19. Jahrhundert im Westen eingeführt wurde.
73 73  
74 -Als der Scheich starb, hinterließ seinen drei Söhnen 35 Kamele.
92 +Es besteht aus drei am Boden fixierten senkrechten Stäben, von denen zu Beginn die rechte und mittlere Stange unbelegt sind und die linke Stange eine n-stöckige Pyramide enthält, deren Stöcke aus gelochten Scheiben abnehmender Größe besteht. Die Abbildung rechts zeigt eine Holzversion des Spiels mit n=8 Stöcken.
75 75  
76 -Die Söhne wussten nicht, wie sie Kamele aufteilen sollten.
94 +Ziel des Spiels ist, die komplette Pyramide in möglichst wenigen Zügen auf den rechten Stab zu versetzen. Pro Zug darf genau eine Scheibe von einem Stab oben abgezogen und auf einen anderen Stab gesetzt werden. Dabei darf niemals eine Scheibe auf eine kleinere Scheibe abgelegt werden.
77 77  
78 -Da kam ein kluger Mann auf seinem Kamel geritten und versprach ihnen Hilfe. Er stellte sein Kamel zu der Herde, dass es nun 36 Tiere waren und sagte: „Nun könnt ihr die Kamele nach dem Willen eures Vaters verteilen.
79 -Was übrig bleibt, nehme ich als Lohn für meinen guten Rat.“
96 +Untersuche in Abhängigkeit von n, in wie vielen Zügen N das Spiel optimalerweise gelöst werden kann.
80 80  
81 -Wie viele Kamele bekommen die einzelnen Söhne?
98 +(% style="text-align: right" %)
99 +,,**Bild: ** anonym, [[Tower of Hanoi>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tower_of_Hanoi.jpeg]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode" rel="license]],,
100 +{{/aufgabe}}
82 82  
83 -Was bekommt der kluge Mann?
102 +{{aufgabe id="Die Rätsel um Johannes und Wilhelm" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
103 +Der im Jahr 1919 geborene US-Mathematiker, Logiker, Zauberer und Philosoph Raymond M. Smullyan ist unter anderem für eine Reihe skurriler und lustiger Rätsel bekannt.
84 84  
85 -Wie ist es zu erklären, dass bei der Teilung Tiere für den klugen Mann übrig bleiben?
105 +In einem aus mehreren Teilen bestehenden Rätsel Smullyians geht es um die beiden Protagonisten Johannes und Wilhelm. Jeder der beiden ist entweder ein Ritter, der selbstredend immer die Wahrheit sagt oder ein Knappe, der immer lügt.
86 86  
87 -Haben die Söhne durch das Hinzustellen des 36. Kamels mehr oder weniger bekommen als im Testament vorgesehen?
107 +**Teil 1**
108 +Johannes sagt: „Wilhelm und ich sind beide Knappen.“
109 +Wer von den beiden ist was?
88 88  
89 -{{lehrende}}
90 -**Sinn dieser Aufgabe:**
91 -Nichtlineares Gleichungssystem mit Einsetzung lösen.
92 -{{/lehrende}}
111 +**Teil 2**
112 +Johannes sagt: „Wenn Wilhelm ein Knappe ist, so bin ich auch ein Knappe. Wenn Wilhelm ein Ritter ist, so bin ich auch ein Ritter.“
113 +Wilhelm sagt: „Wenn Johannes ein Knappe ist, so bin ich ein Ritter. Wenn Johannes ein Ritter ist, so bin ich ein Knappe.“
114 +Wer von den beiden ist was?
93 93  
116 +**Teil 3**
117 +//Dies ist der schwierigste Teil des Puzzles und wurde u. a. bekannt durch den Fantasy-Film „Labyrinth“.//
118 +
119 +Johannes und Wilhelm, von denen genau einer ein Ritter ist, stehen an einer gefährlichen Weggabelung, von dem zwei Pfade ausgehen: Der eine Pfad führt in die Freiheit und der andere zum sicheren Tod.
120 +Johannes und Wilhelm wissen beide, welcher Pfad zur Freiheit führt.
121 +Du als Rätsellöser darfst nun genau einem der beiden genau eine Ja-Nein-Frage stellen, um herauszufinden, welcher Pfad zur Freiheit führt. Welche Frage ist das?
122 +
123 +
124 +Versuche, alleine oder in einer Gruppe die drei Teile des Rätsels zu lösen und begründe deine Lösungen.
94 94  {{/aufgabe}}
95 95  
96 -{{aufgabe id="Gleichungen finden" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
97 -Nenne drei nicht äquivalente* Gleichungen, die die Lösung 17 haben.
127 +{{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
128 +Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion //f// mit {{formula}} f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, {{/formula}} „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion //g// mit {{formula}} g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} {{/formula}}.
129 +Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten {{formula}}x{{/formula}}-Wert {{formula}}x_0 {{/formula}} ist {{formula}} f(x)>g(x) {{/formula}} für alle {{formula}}x>x_0 {{/formula}}.
130 +
131 +Betrachtet man z. B. die Funktionen {{formula}} f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x{{/formula}} und {{formula}} g(x)= x^{100} {{/formula}}, so scheint dies nicht der Fall zu sein //(vgl. Abbildung)//.
98 98  
99 - //*Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie durch Umformungen nach dem „Waagschalen-Prinzip“ auseinander hervorgehen.//
133 + [[image:Aufgabe10Plot.PNG||width="1000"]]
100 100  
135 +Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.
136 +
137 +Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen //f// und //g// Folgendes besagt:
138 +
139 +{{formula}}\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}{{/formula}}
140 +
141 +(Die Regel setzt man ein, wenn für {{formula}} x \rightarrow \infty{{/formula}} Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen {{formula}}-\infty{{/formula}} oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen {{formula}}+\infty {{/formula}} gehen.)
101 101  
102 -{{lehrende}}
103 -**Sinn dieser Aufgabe:**
104 -Nichtlineares Gleichungssystem mit Einsetzung lösen.
105 -{{/lehrende}}
143 +//Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für {{formula}} x \rightarrow -\infty{{/formula}} und für {{formula}} x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}{{/formula}}.//
144 +{{/aufgabe}}
106 106  
146 +{{aufgabe id="Grashalm-Orakel" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
147 +Wenn früher in Russland eine junge Frau wissen wollte, ob sie im nächsten Jahr verheiratet sein werde, fragte sie das Grashalm-Orakel.
148 +Sie nahm 4 Grashalme in die Faust, sodass sie oben und unten herausragten, und bat eine Freundin, alle Enden oberhalb der Faust irgendwie zufällig, aber paarweise, zusammenzuknoten. Bei allen Enden unterhalb der Faust ebenso. Dann öffnet das Mädchen die Faust. Falls dabei ein einziger großer Ring aus Gras entsteht, bedeutet dies, dass die junge Frau im nächsten Jahr heiraten werde.
149 +
150 +Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Situation ein einziger großer Ring aus Gras entsteht?
107 107  {{/aufgabe}}
108 108  
109 -== IQB-Index ==
110 -{{getaggt}}iqb{{/getaggt}}
153 +{{aufgabe id="Gitter" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
154 +[[image:Gitter 7x7.svg||style="float: right" width="200"]]Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei einem beliebigen mxm-Gitter (//m// ist eine natürliche Zahl) entlang der Gitterlinien auf kürzestem Wege von einer Ecke zur diagonal gegenüberliegenden Ecke zu gelangen?
155 +
156 +Zur Problemlösung legen Ihnen 3 Mitschüler*innen Lösungsansätze vor. Begründe, welcher Ansatz stimmt
157 +und weshalb die beide anderen Ansätze falsch sind.
158 +
159 +**Ansatz 1:** {{formula}}2m{{/formula}} mögliche Wege
160 +**Ansatz 2:** {{formula}}2^{2m}{{/formula}} mögliche Wege
161 +**Ansatz 3:** {{formula}}\binom{2m}{m}{{/formula}} mögliche Wege
162 +{{/aufgabe}}
163 +
164 +{{aufgabe id="Urne Blau Weiß" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
165 +In einer Urne liegen zwei Kugeln, eine ist weiß und eine ist blau. Lea zieht zufällig, also ohne hinzuschauen, eine Kugel aus der Urne.
166 +Sie betrachtet deren Farbe und legt die gezogene Kugel zusammen mit einer weiteren, gleichfarbigen Kugel zurück in die Urne. Diese Schritte wiederholt sie immer wieder. Mit jedem Zug kommt so eine zusätzliche Kugel hinzu. Sie führt dies genau 100 Mal durch, sodass sich am Ende 102 Kugeln in der Urne befinden.
167 +Am Ende befinden sich 100 blaue und nur zwei weiße Kugeln. Es wurde also nur ein einziges Mal eine weiße Kugel gezogen.
168 +Ist es wahrscheinlicher, dass dies während der ersten 50 Züge oder während der zweiten 50 Züge geschah? Oder liegt die gleiche Wahrscheinlichkeit vor? Begründe.
169 +{{/aufgabe}}
170 +
171 +{{aufgabe id="Max und Moritz" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
172 +Max und Moritz würfeln gegeneinander. Sie haben drei verschiedene sechsseitige Würfel, deren Seiten mit folgenden
173 +Zahlen beschriftet sind:
174 +Würfel A: 2, 2, 2, 2, 5, 5
175 +Würfel B: 1, 1, 4, 4, 4, 4
176 +Würfel C: 3, 3, 3, 3, 3, 3
177 +Max darf sich zunächst einen Würfel aussuchen, mit welchem er später ein Mal würfelt. Dann darf sich Moritz einen von den verbliebenen zwei Würfeln aussuchen, mit welchem er später ein Mal würfelt. Wer die höhere Zahl wirft, gewinnt.
178 +Welcher Spielteilnehmer hat die größten Chancen zu gewinnen? Beschreibe und begründe die Strategie, die hierfür gewählt werden sollte.
179 +{{/aufgabe}}
Blaettchen.PNG
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