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Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

@@ -1,1 +1,1 @@
--XWiki.akukin
++XWiki.holgerengels

Inhalt

@@ -1,157 +1,229 @@
++{{aufgabe id="Lichtschalterproblem" afb="II" Kompetenzen="K2,K1,K6,K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="20"}}
++[[image:Lichtschalter_mechanisch.jpg||style="float: right" width="200"]]Ein Hotel hat 100 Zimmer mit den Nummern 1 bis 100 und 100 Gäste. Jedes Zimmer hat einen Lichtschalter, der das Licht einschaltet, wenn es aus ist und es ausschaltet, wenn es an ist.
--{{aufgabe id="Skate-Rampe" afb="" zeit="" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc=""}}
--Die folgende Abbildung zeigt eine Skate-Rampe.
++Zunächst sind alle Lichter ausgeschaltet.
--[[image:Skate-Rampe.PNG||width="450"]]
--(% style="font-size: 0.8em;" %)**Abb.: Skate-Rampe** (vgl. Haas & Morath (2006) (Hrsg.). //„Anwendungsorientierte Aufgaben für die Sekundarstufe II“(S.39)//. Braunschweig: Westermann Verlag.)
++Dann geht jeder Gast der Reihe nach durch jedes Zimmer:
--Die Rampe ist massiv aus Beton gegossen. Diskutiere Möglichkeiten, das Gewicht der Rampe nur anhand der Abbildung und der Dichte von Beton (zwischen 1,5 und 2,5 g/cm^^3^^) abzuschätzen.
++* Gast 1 drückt den Schalter jedes Zimmers.
++* Gast 2 drückt den Schalter jedes zweiten Zimmers, also von Zimmer 2, 4, 6, …
++* Gast 3 drückt den Schalter jedes dritten Zimmers, also von Zimmer 3, 6, 9, …
++* Gast 4…
++* …
++* Gast 100 drückt den Schalter jedes hundertsten Zimmers, also nur von Zimmer 100.
--{{lehrende}}
--**Variante:** Offene Aufgabe für den Unterricht/für einen größeren Klassenarbeitsteil
--Wie schwer wäre sie, wenn man sie massiv aus Beton gießen würde?
--**Information:** Die Dichte von Beton liegt zwischen 1,5 und 2,5 g/cm^^3^^
--{{/lehrende}}
--{{/aufgabe}}
++Beschreibe, wie für ein frei gewähltes Zimmer n (1 ≤ n ≤ 100) geprüft werden kann, ob nach dem Durchgang des letzten Gastes das Licht aus- oder eingeschaltet ist.
++(Bonus: Simuliere das Lichtschalter-Problem mit einer Tabellenkalkulation oder mithilfe einer Programmiersprache und überprüfe, welche Lichter nach dem kompletten Durchlauf aus sind. (30min, AB II für Bonus-Aufgabe))
--{{aufgabe id="Spielzeug-Holzbrücke Symmetrie" afb="III" kompetenzen="K1, K3, K4, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/erhoeht/2021_M_erhoeht_B_5.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
--Die Abbildung zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.
++(% style="text-align: right" %)
++,,**Bild: ** [[4028mdk09>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:4028mdk09">4028mdk09]], [[Lichtschalter mechanisch>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lichtschalter_mechanisch.JPG]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]],,
++{{/aufgabe}}
--[[image:SpielzeugHolzbrücke.png||width="750"]]
++{{aufgabe id="Türme von Hanoi" afb="II" Kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
++[[image:Tower_of_Hanoi.jpg||width="300" style="float: right"]]Die „Türme von Hanoi“ sind ein altes asiatisches Rätselspiel, welches im 19. Jahrhundert im Westen eingeführt wurde.
--Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}f: x \mapsto \frac{1}{20} x^4-\frac{2}{5}x^2+1{{/formula}} beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.
++Es besteht aus drei am Boden fixierten senkrechten Stäben, von denen zu Beginn die rechte und mittlere Stange unbelegt sind und die linke Stange eine n-stöckige Pyramide enthält, deren Stöcke aus gelochten Scheiben abnehmender Größe besteht. Die Abbildung rechts zeigt eine Holzversion des Spiels mit n=8 Stöcken.
--Während der Planung der Brückenform kamen zur Beschreibung der oberen Randlinie für das linke Bauteil eine Funktion {{formula}}g_l{{/formula}} und für das rechte Bauteil eine Funktion {{formula}}g_r{{/formula}} infrage. Auch bei Verwendung dieser Funktionen wäre die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen.
++Ziel des Spiels ist, die komplette Pyramide in möglichst wenigen Zügen auf den rechten Stab zu versetzen. Pro Zug darf genau eine Scheibe von einem Stab oben abgezogen und auf einen anderen Stab gesetzt werden. Dabei darf niemals eine Scheibe auf eine kleinere Scheibe abgelegt werden.
--1. Beurteile jede der folgenden Aussagen:
--I: {{formula}}-g_l(x)=g_r(-x){{/formula}} für {{formula}}-2\leq x \leq -1{{/formula}}
--II: {{formula}}g_l(x-1)=g_r(-x+1){{/formula}} für {{formula}}-1\leq x\leq 0{{/formula}}
++Untersuche in Abhängigkeit von n, in wie vielen Zügen N das Spiel optimalerweise gelöst werden kann.
--Die Form und die Größe der Brücke werden verändert, indem im bisher verwendeten Modell die obere Randlinie des Längsschnitts mithilfe der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}k:x\mapsto\frac{3}{5} \cdot \cos(\frac{\pi}{3}x)+\frac{4}{5}{{/formula}} beschrieben wird. Die Bauteile der veränderten Brücke lassen sich nach dem in der folgenden Abbildung dargestellten Prinzip aus einem quaderförmigen Holzblock sägen. Der beim Sägen auftretende Materialverlust soll im Folgenden vernachlässigt werden.
--
--[[image:SpielzeugHolzbrückegesägt.png||width="750"]]
--)))
--(% style="list-style:" start="2" %)
--1. Der Graph von {{formula}}k{{/formula}} ist symmetrisch bezüglich jedes seiner Wendepunkte. Beschreibe, wie diese Eigenschaft mit dem in der 2. Abbildung dargestellten Prinzip zusammenhängt.
--1. Ermittle mithilfe des Funktionsterms von {{formula}}k{{/formula}} den Flächeninhalt der gesamten in der 2. Abbildung gezeigten rechteckigen Vorderseite des Holzblocks.
++(% style="text-align: right" %)
++,,**Bild: ** anonym, [[Tower of Hanoi>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tower_of_Hanoi.jpeg]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode" rel="license]],,
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Funktionsschar Graph" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_5.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
--Betrachtet wird die Schar der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}f_a{{/formula}} mit {{formula}}f_a\left(x\right)=x\cdot e^{a\cdot x}, \ a\in\mathbb{R}, \ a\neq0{{/formula}}. Für jeden Wert von {{formula}}a{{/formula}} besitzt die Funktion {{formula}}f_a{{/formula}} genau eine Extremstelle.
++{{aufgabe id="Die Rätsel um Johannes und Wilhelm" afb="III" zeit="30" Kompetenzen="K2, K1, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
++Der im Jahr 1919 geborene US-Mathematiker, Logiker, Zauberer und Philosoph Raymond M. Smullyan ist unter anderem für eine Reihe skurriler und lustiger Rätsel bekannt.
--1. Begründe, dass der Graph von {{formula}}f_a{{/formula}} für {{formula}}x<0{{/formula}} unterhalb der //x//-Achse verläuft.
--1. Beide Abbildungen zeigen einen Graphen der Schar, einen der beiden für einen positiven Wert von {{formula}}a{{/formula}}. Entscheide, welche Abbildung dies ist, und begründe deine Entscheidung.
--[[image:Graphenfunktionsschar.png||width="550" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
++In einem aus mehreren Teilen bestehenden Rätsel Smullyians geht es um die beiden Protagonisten Johannes und Wilhelm. Jeder der beiden ist entweder ein Ritter, der selbstredend immer die Wahrheit sagt oder ein Knappe, der immer lügt.
--__Hinweis__:
--Der Begriff „Schar“ beziehungsweise „Funktionsschar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig.
++**Teil 1**
++Johannes sagt: „Wilhelm und ich sind beide Knappen.“
++Wer von den beiden ist was?
--**Eine bildungsplankonforme Variante wäre zum Beispiel**:
--Betrachtet wird die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=x\cdot e^{a\cdot x}{{/formula}}. Dabei ist {{formula}}a\in\mathbb{R}, \ a\neq0{{/formula}} eine feste Zahl. Die Funktion {{formula}}f{{/formula}} besitzt genau eine Extremstelle.
++**Teil 2**
++Johannes sagt: „Wenn Wilhelm ein Knappe ist, so bin ich auch ein Knappe. Wenn Wilhelm ein Ritter ist, so bin ich auch ein Ritter.“
++Wilhelm sagt: „Wenn Johannes ein Knappe ist, so bin ich ein Ritter. Wenn Johannes ein Ritter ist, so bin ich ein Knappe.“
++Wer von den beiden ist was?
--1. Begründe, dass der Graph von {{formula}}f{{/formula}} für {{formula}}x<0{{/formula}} unterhalb der //x//-Achse verläuft.
--1. Beide Abbildungen zeigen einen Graphen für zwei unterschiedliche Werte von {{formula}}a{{/formula}}, einen der beiden für einen positiven Wert von {{formula}}a{{/formula}}. Entscheide, welche Abbildung dies ist, und begründe deine Entscheidung.
--[[image:Graphenfunktionsschar.png||width="550" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
++**Teil 3**
++//Dies ist der schwierigste Teil des Puzzles und wurde u. a. bekannt durch den Fantasy-Film „Labyrinth“.//
++
++Johannes und Wilhelm, von denen genau einer ein Ritter ist, stehen an einer gefährlichen Weggabelung, von dem zwei Pfade ausgehen: Der eine Pfad führt in die Freiheit und der andere zum sicheren Tod.
++Johannes und Wilhelm wissen beide, welcher Pfad zur Freiheit führt.
++Du als Rätsellöser darfst nun genau einem der beiden genau eine Ja-Nein-Frage stellen, um herauszufinden, welcher Pfad zur Freiheit führt. Welche Frage ist das?
++
++Versuche, alleine oder in einer Gruppe die drei Teile des Rätsels zu lösen und begründe deine Lösungen.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Rechteck im Graphen" afb="" kompetenzen="K1,K2,K4,K5,K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_7.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
--Für eine Zahl {{formula}}a>0{{/formula}} zeigt die Abbildung den Graphen {{formula}}G{{/formula}} der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=x^3-2ax^2+a^2x{{/formula}} sowie die Gerade {{formula}}h{{/formula}}. {{formula}}G{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}}schneiden sich im Koordinatenursprung und {{formula}}h{{/formula}} verläuft senkrecht zur Tangente an {{formula}}G{{/formula}} im Koordinatenursprung. Zudem berühren sich {{formula}}G{{/formula}} und die //x//-Achse im Punkt {{formula}}\left(a\middle|0\right){{/formula}}.
--Betrachtet wird dasjenige Rechteck, das die folgenden Eigenschaften besitzt:
--* Die beiden gemeinsamen Punkte von {{formula}}G{{/formula}} und der //x//-Achse sind zwei benachbarte Eckpunkte des Rechtecks.
--* Eine Diagonale liegt auf der Geraden {{formula}}h{{/formula}}.
++{{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
++Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion //f// mit {{formula}} f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, {{/formula}} „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion //g// mit {{formula}} g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} {{/formula}}.
++Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten  {{formula}}x{{/formula}}-Wert {{formula}}x_0 {{/formula}} ist {{formula}} f(x)>g(x) {{/formula}} für alle {{formula}}x>x_0 {{/formula}}.
--Skizziere das Rechteck in der Abbildung und zeige, dass der Flächeninhalt des Rechtecks unabhängig von {{formula}}a{{/formula}} ist.
++Betrachtet man z. B. die Funktionen {{formula}} f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x{{/formula}} und {{formula}} g(x)= x^{100} {{/formula}}, so scheint dies nicht der Fall zu sein //(vgl. Abbildung)//.
--[[image:FunktionRechteck.PNG||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
++ [[image:Aufgabe10Plot.PNG||width="1000"]]
--{{/aufgabe}}
++Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.
--{{aufgabe id="Kamelaufgabe" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
--Ein Scheich hatte in seinem Testament bestimmt,
--dass der älteste Sohn die Hälfte, der zweite Sohn ein Drittel und der dritte Sohn ein Neuntel der Kamele des Scheichs erhalten sollten.
++Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen //f// und //g// Folgendes besagt:
--Als der Scheich starb, hinterließ seinen drei Söhnen 35 Kamele.
++{{formula}}\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}{{/formula}}
--Die Söhne wussten nicht, wie sie Kamele aufteilen sollten.
++(Die Regel setzt man ein, wenn für  {{formula}} x \rightarrow \infty{{/formula}} Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen {{formula}}-\infty{{/formula}} oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen  {{formula}}+\infty {{/formula}} gehen.)
--Da kam ein kluger Mann auf seinem Kamel geritten und versprach ihnen Hilfe. Er stellte sein Kamel zu der Herde, dass es nun 36 Tiere waren und sagte: „Nun könnt ihr die Kamele nach dem Willen eures Vaters verteilen.
--Was übrig bleibt, nehme ich als Lohn für meinen guten Rat.“
++//Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für {{formula}} x \rightarrow -\infty{{/formula}} und für {{formula}} x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}{{/formula}}.//
++{{/aufgabe}}
--Wie viele Kamele bekommen die einzelnen Söhne?
--Was bekommt der kluge Mann?
--Wie ist es zu erklären, dass bei der Teilung Tiere für den klugen Mann übrig bleiben?
++{{aufgabe id="Wanderung" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
++Daniel startet seine Wanderung um 8 Uhr im Tal. Er kommt um 18 Uhr auf der Berghütte an und
++übernachtet dort. Am nächsten Morgen beginnt er seinen Rückweg um 8 Uhr und erreicht um 18 Uhr
++das Tal.
++Hierbei wandert Daniel nicht unbedingt mit konstanter Geschwindigkeit.
++
++Beweisen Sie, dass es eine Uhrzeit zwischen 8 Uhr und 18 Uhr gibt, zu welcher sich Daniel
++an beiden Tagen an der exakt gleichen Stelle seiner Wanderung befindet.
++{{/aufgabe}}
--Haben die Söhne durch das Hinzustellen des 36. Kamels mehr oder weniger bekommen als im Testament vorgesehen?
++{{aufgabe id="QuadratinKreis" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
++[[image:QuadratinKreisinQuadrat.PNG||width="200" style="float: right"]]
++In ein Quadrat ist ein Kreis einbeschrieben.
++Der Kreis stellt wiederum den Umkreis eines
++kleineren Quadrates dar.
++
++In welchem Verhältnis stehen die die Flächeninhalte
++der beiden Quadrate zueinander?
++{{/aufgabe}}
--{{lehrende}}
--**Sinn dieser Aufgabe:**
--Nichtlineares Gleichungssystem mit Einsetzung lösen.
--{{/lehrende}}
++
++{{aufgabe id="Unendliche Quadrate" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
++[[image:unendlicheQuadrate.PNG||width="250" style="float: right"]]
++
++Ein Quadrat wird in immer kleinere Quadrate
++zerlegt: Das Ausgangsquadrat wird geviertelt. Das
++Viertelquadrat links unten wird schwarz eingefärbt.
++Das Quadrat rechts oben wird wieder geviertelt usw..
++Auf diese Weise entstehen unendlich viele schwarze
++Quadrate, die immer kleiner werden.
++
++Wie groß ist der prozentuale Anteil der schwarz gefärbten Fläche am Ausgangsquadrat?
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Punkt- und Achsensymmetrie" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
--Definition:
--Eine Figur ist __punktsymmetrisch__, wenn sie bei einer Spiegelung an einem Punkt in sich selbst übergeht.
--Eine Figur ist __achsensymmetrisch__, wenn sie bei einer Spiegelung an einer Geraden in sich selbst übergeht.
++{{aufgabe id="Blaettchen" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
++[[image:Blaettchen.PNG||width="340" style="float: right"]]
++Mara legt Blättchen nach nebenstehendem
++Muster. Die ersten drei Muster hat sie schon gelegt.
++Ab welchem Muster benötigt Mara mehr als 1000
++Blättchen? Begründe.
++{{/aufgabe}}
--Welche Buchstaben des Alphabets sind punktsymmetrisch, welche sind achsensymmetrisch?
--A		B		C		D		E		F		G		H		I		J		K		L		M		N		O		P		Q		R		S		T		U		V		W		X		Y		Z
++{{aufgabe id="Spinne" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
++[[image:SpinneSchachtel.png||width="240" style="float: right"]]
++Eine Spinne befindet sich im Punkt A und möchte auf einer geschlossenen Schachtel nach B krabbeln. Sie kann Flächen queren oder Kanten entlang krabbeln.
++
++Ermittle die Länge des kürzesten Weges.
++{{/aufgabe}}
++{{aufgabe id="Kreismittelpunkt" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
++Gegeben ist ein Kreis. Auf diesem werden zufällig drei Punkte A, B und C ausgewählt und durch ein Dreieck miteinander verbunden.
++
++Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des Dreiecks (oder auf einer Dreiecksseite)?
++{{/aufgabe}}
--{{lehrende}}
--**Sinn dieser Aufgabe:**
--Punkt- und Achsensymmetrie erkennen
--{{/lehrende}}
++{{aufgabe id="Quadrat-Spirale" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
++In der Skizze sind die ersten beiden Windungen einer „Quadrat-Spirale“ dargestellt. Eine Windung beginnt und endet stets im linken unteren Punkt.
++
++Welche Windung hat eine Länge von 94 LE?
++[[image:Quadratspirale.PNG||width="450"  style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
++{{/aufgabe}}
++{{aufgabe id="Pilot " afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
++Ein Pilot ﬂiegt jeden Tag vom Flughafen A zum 100 km entfernten Flughafen B und wieder zurück. Bei Windstille ﬂiegt das Flugzeug mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 85 km/h.
++Bei einer beispielhaften Windgeschindigkeit von 20 km/h und entsprechender Windrichtung hat der Pilot beim Hinﬂug Rückenwind und ﬂiegt mit 105 km/h, beim Rückﬂug jedoch Gegenwind, was zu einer Geschwindigkeit von 65 km/h führt.
++
++Annahmen: Windrichtung und Windgeschindigkeit bleiben den ganzen Tag gleich.
++
++Weise nach, ob an jenen Tagen, an denen der Wind weht, eine längere, kürzere oder die gleiche Gesamtﬂugzeit für Hin- und Rückﬂug vorliegt.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Mittelpunkt einer Strecke" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
--Klara und Alfons haben zwei verschiedene Formeln für die Berechnung des Mittelpunkts zweier Punkte {{formula}}A(x_1|y_1){{/formula}} und {{formula}}B(x_2|y_2){{/formula}}.
++{{aufgabe id="Aufleiten" afb="III" Kompetenzen="K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="15"}}
++Im Unterricht eines J2-Kurses soll die Funktion {{formula}}f(x)=\frac{1}{2x}{{/formula}} aufgeleitet werden. Johann rechnet mit der Kettenregel der Aufleitung wie folgt: {{formula}}F(x)=\frac{1}{2}\ln(|2x|){{/formula}}. Johannes mag die Kettenregel nicht und formt den Term von //f// zunächst um: {{formula}}f(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}{{/formula}}, denn danach wird die Aufleitung ganz einfach: {{formula}}F(x)=\frac{1}{2}\ln(|x|){{/formula}}. Die beiden geraten in eine Diskussion darüber, welche Lösung richtig ist. Überprüfe dies.
++{{/aufgabe}}
--Alfons glaubt, dass folgende Formel richtig ist: {{formula}}M\left(\frac{x_1-y_1}{2}\Bigl|\frac{x_2-y_2}{2}\right){{/formula}}
--Klara behauptet aber, dass ihre Formel die richtige ist: {{formula}}M\left(\frac{x_1+x_2}{2}\Bigl|\frac{x_2+y_2}{2}\right){{/formula}}
++{{aufgabe id="Gaußsche Summenformel" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
++Die Summe der ersten //n// natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3 + ⋯ + //n// kann man mit der
++sogenannten Gaußschen Summenformel berechnen.
++[[image:Gaußsche Summenformel.PNG||width="420"]]
--(%class=abc")
--1. Zeichne die Punkte {{formula}}A(3|5){{/formula}} und {{formula}}B(7|1){{/formula}} in ein Koordinatensystem und bestimme zeichnerisch den Mittelpunkt der Strecke {{formula}}AB{{/formula}}.
--1. Welche Koordinaten des Mittelpunkts berechnet Klara, welche Alfons? Wessen Formel ist richtig?
--1. Streiche die falsche Formel durch!
--1. Bestimme nun rechnerisch mit der richtigen Formel den Mittelpunkt der Strecke {{formula}}PQ{{/formula}} mit {{formula}}P(-4|2){{/formula}} und {{formula}}Q(3|-6){{/formula}}.
++{{lehrende}}
++**Variante 1:**Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit
++Ermittle diese Formel mit Hilfe der obigen grafischen Darstellung
++
++**Variante 2:** Kleinere Klassenarbeitsvariante, Vergleich von Strategien, Verallgemeinerung
++Drei Mitschüler legen dir die folgenden Ergebnisse vor.
++**Schüler 1:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n =n(n+1)
++**Schüler 2:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{6}{{/formula}} n(n+1)(n+2)
++**Schüler 3:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} n(n+1)
++Begründe, welcher Schüler die richtige Formel gefunden hat und erkläre, warum
++die folgende grafische Darstellung bei der Ermittlung der richtigen Summenformel helfen kann.
++{{/lehrende}}
++{{/aufgabe}}
++{{aufgabe id="Nichomachus" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
++„Wenn ich alle natürlichen Zahlen bis zu einer beliebigen Zahl (zum Beispiel bis zu meiner Lieblingszahl) zusammenzähle und dann diese Summe quadriere, erhalte ich dasselbe Ergebnis, wie wenn ich die Zahlen zuerst einzeln hoch drei nehme und dann zusammenzähle.“
  {{lehrende}}
--**Sinn dieser Aufgabe:**
--* Umgang mit Formeln
--* Selbstkontrolle durch Vergleich Rechnung - Zeichnung
++**Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit**
  {{/lehrende}}
++Untersuche diese Behauptung. Dazu kannst du bei Bedarf folgende Grafik benutzen:
++[[image:Nichomachus.PNG||width="420"]]
++
++Gib, sofern diese Behauptung stimmt, eine allgemeine Formel an.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Länge einer Strecke" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
--Klara und Alfons haben zwei verschiedene Formeln für die Berechnung des Abstands zweier Punkte {{formula}}A(x_1|y_1){{/formula}} und {{formula}}B(x_2|y_2){{/formula}}.
++{{aufgabe id="Gemeinsame Tangenten" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
--Alfons glaubt, dass folgende Formel richtig ist: {{formula}}d=\sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}{{/formula}}
++{{lehrende}}
++**Variante 1:** offene Aufgabe für den Unterricht
--Klara behauptet aber, dass ihre Formel die richtige ist: {{formula}}d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}{{/formula}}
++**Aufgabe 1**
--(%class=abc")
--1. Zeichne die Punkte {{formula}}A(3|5){{/formula}} und {{formula}}B(7|1){{/formula}} in ein Koordinatensystem und bestimme zeichnerisch die Länge der Strecke {{formula}}AB{{/formula}}.
--1. Welche Länge des Mittelpunkts berechnet Klara, welche Alfons? Wessen Formel ist richtig?
--1. Streiche die falsche Formel durch!
--1. Bestimme nun rechnerisch mit der richtigen Formel die Länge der Strecke {{formula}}PQ{{/formula}} mit {{formula}}P(-4|2){{/formula}} und {{formula}}Q(3|-6){{/formula}}.
++Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
++
++    {{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-u)^2 + v {{/formula}}.
++Untersuche systematisch die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gebe gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
--{{lehrende}}
--**Sinn dieser Aufgabe:**
--* Umgang mit Formeln
--* Selbstkontrolle durch Vergleich Rechnung - Zeichnung
++**Aufgabe 2**
++
++Gegeben ist eine weitere Parabel //K,,h,,//mit {{formula}}h(x)=-x^2 + v{{/formula}}. Untersuche //K,,f,,// und //K,,h,,// systematisch auf gemeinsame Tangenten. Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
++
++**Aufgabe 3**
++
++Verallgemeinere deine Überlegungen aus Aufgabe 2 auf eine weitere Parabel //K,,j,,// mit {{formula}}j(x)=-(x-u)^2 + v{{/formula}}. Untersuche wiederum //K,,f,,// und //K,,j,,// auf gemeinsame Tangenten.
++Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
++
++**Variante 2:** Klassenarbeitsaufgabe
++
++**Aufgabe 1.1**
++Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
++      {{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-2)^2 + 4 {{/formula}}.
++a) Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
++b) Verallgemeinere dein Vorgehen, indem du die Verschiebungsparameter 2 und 4 im Funktionsterm von //g// durch {{formula}}u, 𝑣 \in \mathbb{R} {{/formula}} ersetzt:  {{formula}}g(x) = (x-u)^2+v {{/formula}}
++
++Gibt es für alle Werte von //𝑢// und //𝑣// eine gemeinsame Tangente mit der Normalparabel //K,,f,,//?
++
++**Aufgabe 1.2**
++
++Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
++      {{formula}} f(x)= x^2 + 2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= -x^2 -2 {{/formula}}.
++Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls Gleichungen der gemeinsamen Tangenten an.
  {{/lehrende}}
  {{/aufgabe}}
--
--== IQB-Index ==
--{{getaggt}}iqb{{/getaggt}}

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