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@@ -189,27 +189,34 @@ |
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189 |
{{/aufgabe}} |
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190 |
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191 |
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-{{aufgabe id="Parabelmaschine" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}} |
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-Denke dir zwei Zahlen, eine positiv, eine negativ. |
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-Wenn du diese Zahlen quadrierst, erhältst du zwei Punkte auf der Normalparabel. |
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192 |
+{{aufgabe id="Gaußsche Summenformel" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}} |
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193 |
+Die Summe der ersten //n// natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3 + ⋯ + //n// kann man mit der |
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194 |
+sogenannten Gaußschen Summenformel berechnen. |
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195 |
+[[image:Gaußsche Summenformel.PNG||width="420"]] |
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195 |
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196 |
{{lehrende}} |
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-**Variante 1: Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit** |
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-Wo schneidet die Verbindungslinie dieser zwei Punkte die y-Achse? |
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198 |
+**Variante 1:**Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit |
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199 |
+Ermittle diese Formel mit Hilfe der obigen grafischen Darstellung |
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199 |
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-Und wenn beide Zahlen positiv sind? |
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-**Variante 2: : Kleinere Klassenarbeitsvariante, Vergleich von Strategien, |
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-Verallgemeinerung** |
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-Wo schneidet die Verbindungslinie dieser zwei Punkte die y-Achse? |
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-{{/lehrende}} |
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201 |
+**Variante 2:** Kleinere Klassenarbeitsvariante, Vergleich von Strategien, Verallgemeinerung |
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202 |
+Drei Mitschüler legen dir die folgenden Ergebnisse vor. |
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203 |
+**Schüler 1:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n =n(n+1) |
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204 |
+**Schüler 2:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{6}{{/formula}} n(n+1)(n+2) |
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205 |
+**Schüler 3:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} n(n+1) |
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206 |
+Begründe, welcher Schüler die richtige Formel gefunden hat und erkläre, warum |
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207 |
+die folgende grafische Darstellung bei der Ermittlung der richtigen Summenformel helfen kann. |
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208 |
+{{/lehrende}} |
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209 |
+{{/aufgabe}} |
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210 |
+ |
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211 |
+{{aufgabe id="Nichomachus" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}} |
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212 |
+„Wenn ich alle natürlichen Zahlen bis zu einer beliebigen Zahl (zum Beispiel bis zu meiner Lieblingszahl) zusammenzähle und dann diese Summe quadriere, erhalte ich dasselbe Ergebnis, wie wenn ich die Zahlen zuerst einzeln hoch drei nehme und dann zusammenzähle.“ |
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205 |
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-Zur Problemlösung legen dir zwei Mitschüler die Ergebnisse zweier Lösungen vor. |
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214 |
+{{lehrende}} |
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215 |
+**Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit** |
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216 |
+{{/lehrende}} |
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207 |
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-Schüler 1: |
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-Die Gerade durch die beiden Punkte {{formula}} P(a|a^2){{/formula}} und {{formula}}Q(b|b^2){{/formula}} schneidet die y-Achse bei {{formula}}S(0 | |a\cdot b|){{/formula}}. |
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- |
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-Schüler 2: |
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-Die Gerade durch die beiden Punkte {{formula}}P(a| a^2){{/formula}} und {{formula}}Q(b| b^2){{/formula}} schneidet die y-Achse bei {{formula}}S\Bigl(0\Bigl|\frac{2a}{b}\Bigl){{/formula}} |
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- |
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-Begründe am Modell, welcher Ansatz stimmt und vervollständige die fehlenden Rechenschritte. |
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218 |
+Untersuche diese Behauptung. Dazu kannst du bei Bedarf folgende Grafik benutzen: |
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219 |
+[[image:Nichomachus.PNG||width="420"]] |
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220 |
+Gib, sofern diese Behauptung stimmt, eine allgemeine Formel an. |
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215 |
{{/aufgabe}} |
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222 |
+ |
