Aufgabe 1 Analysis 1 𝕋 𝕃
Gegeben ist eine im Intervall \([-4;4]\) definierte Polynomfunktion f vom Grad 3. Der Graph von f ist punktsymmetrisch zum Ursprung und schneidet die x-Achse im Punkt \(N(4|0)\). Der Wertebereich von f ist \(W_f=[-2;2]\).
- Skizziere den Graphen der Funktion f, wenn bekannt ist, dass \(f'(0)<0\) gilt. [3 BE]
- Bestimme eine Funktionsgleichung einer trigonometrischen Funktion g, sodass f und g im Intervall \([-4;4]\) dieselben Nullstellen haben. [2 BE]
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Aufgabe 2 Analysis 2 𝕋 𝕃
Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f mit \(f(x)=-2x+e^{ex}\).
- Gib eine Gleichung der Asymptote des Graphen von f an. [1 BE]
- Bestimme den x-Wert, an dem der Graph von f die Steigung 2 hat. [2 BE]
- Zeige, dass der Graph von f keinen Wendepunkt hat. [2 BE]
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Aufgabe 3 Analysis 5_1
Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_f\) der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(f: x \mapsto e^{-x}-e^{-2x}\).
\(G_f\) schneidet die x-Achse an der Stelle \(x_1=0\) und hat einen Hochpunkt an der Stelle \(x_H\).
- Weise rechnerisch nach, dass \(x_1\) die einzige Nullstelle von \(f\) ist. [2 BE]
- Entscheide mit Hilfe der Abbildung, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung.
- \(f^{\prime \prime} (0,5)>0\)
- \(\int_0^2 f(x)dx<2\cdot f(x_H )\) [3 BE]
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