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Wiki-Quellcode von Lösung Analysis 2

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/15 20:43
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3 {{formula}}y=-2x{{/formula}}
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 <p>
9 //Aufgabenstellung//
10 <br>
11 Gib eine Gleichung der Asymptote des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} an.
12 </p>
13 //Lösung//
14 <br>
15 Der Funktionsterm besteht aus zwei Summanden. Der zweite Summand {{formula}}e^{4x}{{/formula}} geht gegen Null für sehr kleine Werte von {{formula}}x{{/formula}}:
16 <br><p>
17 {{formula}}\lim \limits_{x \rightarrow - \infty} e^{4x} = 0{{/formula}}
18 </p>
19 Folglich nähert sich der Graph der Funktion für sehr kleine {{formula}}x{{/formula}} dem Graphen des ersten Summanden an, also einer Geraden mit Steigung {{formula}}-2{{/formula}}. Das ist die Asymptote. Ihre Gleichung lautet
20 <br>
21 {{formula}}y=-2x{{/formula}}
22 {{/detail}}
23
24 === Teilaufgabe b) ===
25 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
26 {{formula}}f^\prime(x)=-2+4\cdot e^{4x}=2 \ \Leftrightarrow \ e^{4x}=1 \ \Leftrightarrow \ x=0{{/formula}}
27 {{/detail}}
28
29
30 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
31 <p>
32 //Aufgabenstellung//
33 <br>
34 Bestimme den x-Wert, an dem der Graph von {{formula}}f{{/formula}} die Steigung {{formula}}2{{/formula}} hat.
35 </p>
36 //Lösung//
37 <br>
38 An der Stelle, an der der Graph die Steigung {{formula}}2{{/formula}} hat, muss die erste Ableitung den Wert {{formula}}2{{/formula}} haben; es gilt {{formula}}f^\prime(x)=2{{/formula}}. Diese Gleichung kann nach {{formula}}x{{/formula}} aufgelöst werden:
39 <br>
40 {{formula}}f^\prime(x)=-2+4\cdot e^{4x}=2 \ \Leftrightarrow \ e^{4x}=1 \ \Leftrightarrow \ x=0{{/formula}}
41 {{/detail}}
42
43 === Teilaufgabe c) ===
44 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
45 {{formula}}f^{\prime \prime}(x)=16\cdot e^{4x}{{/formula}}
46 <br>
47 Da gilt, dass {{formula}}e^{4x}\neq 0{{/formula}}, hat die Gleichung {{formula}}f^{\prime \prime}(x)=0{{/formula}} keine Lösung und der Graph von {{formula}}f{{/formula}} damit keinen Wendepunkt.
48 {{/detail}}
49
50
51 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
52 <p>
53 //Aufgabenstellung//
54 <br>
55 Zeige, dass der Graph von {{formula}}f{{/formula}} keinen Wendepunkt hat.
56 </p>
57 //Lösung//
58 <br><p>
59 An einer Wendestelle muss die zweite Ableitung den Wert 0 haben (die Krümmung verschwindet).
60 </p><p>
61 {{formula}}f^{\prime \prime}(x)=16\cdot e^{4x}{{/formula}}
62 </p>
63 Da gilt, dass {{formula}}e^{4x}\neq 0{{/formula}}, hat die Gleichung {{formula}}f^{\prime \prime}(x)=0{{/formula}} keine Lösung und der Graph von {{formula}}f{{/formula}} damit keinen Wendepunkt.
64 {{/detail}}