Aufgabe 1 Analysis 5_1 𝕋 𝕃
Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_f\) der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(f: x \mapsto e^{-x}-e^{-2x}\).
\(G_f\) schneidet die x-Achse an der Stelle \(x_1=0\) und hat einen Hochpunkt an der Stelle \(x_H\).
- Weise rechnerisch nach, dass \(x_1\) die einzige Nullstelle von \(f\) ist. [2 BE]
- Entscheide mit Hilfe der Abbildung, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung. [3 BE]
- \(f^{\prime \prime} (0,5)>0\)
- \(\int_0^2 f(x)dx<2\cdot f(x_H )\)
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Aufgabe 2 Analysis 5_2 𝕋 𝕃
Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=(x^2-4)\cdot(x-1)\) mit \(x\in \mathbb{R} \). Ihr Graph ist \(K_f\).
- Gib die Nullstellen von \(f \) an. [1 BE]
- Ermittle eine Gleichung der Tangente an \(K_f\) im Schnittpunkt von \(K_f\) mit der y-Achse.
Zeige, dass diese Tangente mit \(K_f \) einen gemeinsamen Punkt auf der x-Achse hat. [4 BE]
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