Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont (offiziell)
\( f(x)=e^{-x}-e^{-2x}=e^{-x} (1-e^{-x} )=0 \ \Leftrightarrow 1-e^{-x}=0 \ \Leftrightarrow x_1=0 \)Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont (offiziell)
Aussage 1Der Graph von \(f\) ist an der Stelle \(x=0,5\) rechtsgekrümmt, daher ist dort die zweite Ableitung von \(f\) negativ und die Aussage damit falsch.
Aussage 2\(A_1=\int_0^2f(x)dx\) Flächeninhalt zwischen \(G_f\)und der x-Achse auf \(\left[0;2\left]\)
\(A_2=2\cdot f(x_H)\) Flächeninhalt des Rechtecks mit der Breite 2 und der Höhe \(f(x_H)\)
Mit Hilfe der Abbildung erkennt man, dass \(A_2\) größer als \(A_1\) und die Aussage damit wahr ist.