Lösung Analysis 5_2

Version 1.1 von akukin am 2024/12/15 21:51

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont (offiziell)

$x_1=-2; \ x_2=1; \ x_3=2$

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung

Gib die Nullstellen von an.

Lösung
Der Satz des Nullprodukts besagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn ein Faktor Null ist. Der erste Faktor wird Null für $x=\pm 2$ , der zweite Faktor für x=1

.
Folglich sind die Nullstellen:
$x_1=-2; \ x_2=1; \ x_3=2$

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont (offiziell)

$\begin{align} f(x)&=x^3-x^2-4x+4 \\ f^\prime(x)&=3x^2-2x-4 \\ f(0)&=4; \ f^\prime(0)=-4 \\ t(x)&=-4x+4 \end{align}$

Aufgrund der Lage der Tangente muss der gemeinsame Punkt an einer der positiven Nullstellen von

liegen.
Man findet t(1)=f(1)=0

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung

Ermittle eine Gleichung der Tangente an K_f im Schnittpunkt von K_f mit der y-Achse. Zeige, dass diese Tangente mit K_f einen gemeinsamen Punkt auf der x-Achse hat.

Lösung
Für die Gleichung der Tangente wird ihre Steigung und ihr y-Achsenabschnitt benötigt. Die Steigung der Tangente ist die Ableitung von

an der Stelle, an der der Graph von

die Tangente berührt. Da die Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse an den Graphen von

angelegt werden soll, ist die Steigung der Tangente $f^\prime(0)$ .

$\begin{align} f(x)&=x^3-x^2-4x+4 \\ f^\prime(x)&=3x^2-2x-4 \\ f^\prime(0)&=-4 \end{align}$

Die Gleichung der Tangente t lautet also:
t(x)=-4x+b

wobei

der y-Achsenabschnitt ist. Da die Tangente jedoch den Graphen genau am y-Achsenabschnitt berühren soll, müssen die beiden y-Achsenabschnitte gleich sein:
b=f(0)=4