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Lösung Lineare Algebra 5_3

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/16 09:57

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont

\(A\cdot B=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&1\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&-2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)

Hinweis: Die Berechnung von \(B\cdot A\) ist ebenso zulässig.
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Zeige rechnerisch, dass \(B\) eine inverse Matrix zu \(A\) ist.

Lösung
Zwei Matrizen sind invers zueinander, wenn ihr Produkt die Einheitsmatrix ergibt:
\(A\cdot B=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&1\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&-2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)

Da dieses Produkt die Einheitsmatrix ergibt, ist \(B\) eine inverse Matrix zu \(A\).

Hinweis: Die Berechnung von \(B\cdot A\) ist ebenso zulässig.

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont Wie lauten die Koordinaten eines Vektors \(\vec{v}\), wenn das Produkt \(A\cdot\vec{v}\) den Vektor \(\left(\begin{matrix}1\\2\\\end{matrix}\right)\) ergibt?
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Gib eine mögliche Fragestellung an, die durch die Lösung des folgenden Gleichungssystems beantwortet werden kann.\(\begin{align*} 2v_1-v_2&=1 \\ -3v_1+v_2&=2 \end{align*}\)

Lösung

Wendet man die Matrix \(A\) auf den Vektor \(\vec{v}\) an, so ergibt sich die linke Seite des Gleichungssystems:

\(A\cdot\vec{v}=\left(\begin{matrix} 2&-1\\-3&1\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}2v_1-v_2\\-3v_1+v_2\\\end{matrix}\right)\)

Die linke Seite des Gleichungssystems muss gleich der rechten Seite sein. In Vektorschreibweise:

\(\left(\begin{matrix}2v_1-v_2\\-3v_1+v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\\\end{matrix}\right)\)

Also wäre eine mögliche Fragestellung:
Wie lauten die Koordinaten eines Vektors \(\vec{v}\), wenn das Produkt \(A\cdot\vec{v}\) den Vektor \(\left(\begin{matrix}1\\2\\\end{matrix}\right)\) ergibt?