Lösung Lineare Algebra 5_4
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont (offiziell)
Für \(a=0\) entspricht der Richtungsvektor von \(g\) einem Normalenvektor von \(E\).Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungBestimme den Wert von \(a\) so, dass sich \(g\) und \(E\) orthogonal schneiden.
LösungEine Gerade steht senkrecht auf einer Ebene, wenn der Richtungsvektor der Gerade ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene ist.
Aus der Koordinatenform der Ebenengleichung kann abgelesen werden, dass der Normalenvektor der Ebene \(\vec{n}=\left(\begin{matrix}1\\1\\0\\\end{matrix}\right)\) ist. Verglichen mit dem Richtungsvektor der Geraden \(\left(\begin{matrix}1\\1\\a\\\end{matrix}\right)\) fällt auf, dass die beiden Vektoren für \(a=0\) identisch sind.
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont (offiziell)
Aus \(x_2=0\) folgt \(0=2+t\) und damit \(t=-2\) und \(P(-1|0|0)\).\(\overrightarrow{PQ}\) liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene. Da \(S\) senkrecht über \(Q\) liegt, ist \(\overrightarrow{QS}\) orthogonal zu \(\overrightarrow{PQ}\).
\(A=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{PQ}\right|\cdot\left|\overrightarrow{QS}\right|=\frac{1}{2}\cdot\left|\left(\begin{matrix}2\\2\\0\\\end{matrix}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{matrix}0\\0\\3\\\end{matrix}\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{8}\cdot\sqrt{9}=3\sqrt{2}\)Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungFür \(a=1,5\) schneidet \(g\) die \(x_1\)-Achse im Punkt \(P\) und die Ebene \(E\) im Punkt \(S\left(1\left|2\right|3\right)\). Zudem ist der Punkt \(Q\left(1\left|2\right|0\right)\) bekannt. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks \(PQS\).
LösungDa \(P\) auf der \(x_1\)-Achse liegt, hat er die Form \(P\left(k\left|0\right|0\right)\) mit einer reellen Zahl \(k\). Da \(P\) auf \(g\) liegen soll, muss gelten:
\(\left(\begin{matrix}k\\0\\0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\\3\\\end{matrix}\right)+t\cdot \left(\begin{matrix}1\\1\\a\\\end{matrix}\right)\)
Aus \(x_2=0\) folgt \(0=2+t\) und damit \(t=-2\).Setzt man \(t=-2\) in die erste Zeile \(k=1+t\cdot1\) ein, erhält man \(k=-1\). Damit ist \(P(-1|0| 0)\).
Die Seite \(PQ\) des Dreiecks liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene, denn bei beiden Punkten \(P\) und \(Q\) ist die \(x_3\)-Koordinate Null. Da \(S\) senkrecht über \(Q\) liegt (die \(x_3\)-Koordinate ist 3 anstatt 0; ansonsten sind alle Koordinaten gleich), ist \(\overrightarrow{QS}\) orthogonal zu \(\overrightarrow{PQ}\). Man kann folglich die Beträge von \(\overrightarrow{PQ}\) und \(\overrightarrow{QS}\) als Länge der Grundseite beziehungsweise Länge der Höhe des Dreiecks auffassen.Damit ergibt sich für den Flächeninhalt des Dreiecks:
\(A=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{PQ}\right|\cdot\left|\overrightarrow{QS}\right|=\frac{1}{2}\cdot\left|\left(\begin{matrix}2\\2\\0\\\end{matrix}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{matrix}0\\0\\3\\\end{matrix}\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{8}\cdot\sqrt{9}=3\sqrt{2}\)