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Lösung Lineare Algebra 5_4

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/23 13:45

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont (offiziell) Für a=0 entspricht der Richtungsvektor von g einem Normalenvektor von E.
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Bestimme den Wert von a so, dass sich g und E orthogonal schneiden.

Lösung
Eine Gerade steht senkrecht auf einer Ebene, wenn der Richtungsvektor der Gerade ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene ist.
Aus der Koordinatenform der Ebenengleichung kann abgelesen werden, dass der Normalenvektor der Ebene \vec{n}=\left(\begin{matrix}1\\1\\0\\\end{matrix}\right) ist. Verglichen mit dem Richtungsvektor der Geraden \left(\begin{matrix}1\\1\\a\\\end{matrix}\right) fällt auf, dass die beiden Vektoren für a=0 identisch sind.

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont (offiziell) Aus x_2=0 folgt 0=2+t und damit t=-2 und P(-1|0|0).

\overrightarrow{PQ} liegt in der x_1x_2-Ebene. Da S senkrecht über Q liegt, ist \overrightarrow{QS} orthogonal zu \overrightarrow{PQ}.

A=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{PQ}\right|\cdot\left|\overrightarrow{QS}\right|=\frac{1}{2}\cdot\left|\left(\begin{matrix}2\\2\\0\\\end{matrix}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{matrix}0\\0\\3\\\end{matrix}\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{8}\cdot\sqrt{9}=3\sqrt{2}
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Für a=1,5 schneidet g die x_1-Achse im Punkt P und die Ebene E im Punkt S\left(1\left|2\right|3\right). Zudem ist der Punkt Q\left(1\left|2\right|0\right) bekannt. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks PQS.

Lösung

Da P auf der x_1-Achse liegt, hat er die Form P\left(k\left|0\right|0\right) mit einer reellen Zahl k. Da P auf g liegen soll, muss gelten:

\left(\begin{matrix}k\\0\\0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\\3\\\end{matrix}\right)+t\cdot \left(\begin{matrix}1\\1\\a\\\end{matrix}\right)

Aus x_2=0 folgt 0=2+t und damit t=-2.

Setzt man t=-2 in die erste Zeile k=1+t\cdot1 ein, erhält man k=-1. Damit ist P(-1|0| 0).

Die Seite PQ des Dreiecks liegt in der x_1x_2-Ebene, denn bei beiden Punkten P und Q ist die x_3-Koordinate Null. Da S senkrecht über Q liegt (die x_3-Koordinate ist 3 anstatt 0; ansonsten sind alle Koordinaten gleich), ist \overrightarrow{QS} orthogonal zu \overrightarrow{PQ}. Man kann folglich die Beträge von \overrightarrow{PQ} und \overrightarrow{QS} als Länge der Grundseite beziehungsweise Länge der Höhe des Dreiecks auffassen.

Damit ergibt sich für den Flächeninhalt des Dreiecks:

A=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{PQ}\right|\cdot\left|\overrightarrow{QS}\right|=\frac{1}{2}\cdot\left|\left(\begin{matrix}2\\2\\0\\\end{matrix}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{matrix}0\\0\\3\\\end{matrix}\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{8}\cdot\sqrt{9}=3\sqrt{2}