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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra 5_4

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/23 12:45
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3 Für {{formula}}a=0{{/formula}} entspricht der Richtungsvektor von {{formula}}g{{/formula}} einem Normalenvektor von {{formula}}E{{/formula}}.
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 //Aufgabenstellung//
9 <br><p>
10 Bestimme den Wert von {{formula}}a{{/formula}} so, dass sich {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} orthogonal schneiden.
11 </p>
12 //Lösung//
13 <br>
14 Eine Gerade steht senkrecht auf einer Ebene, wenn der Richtungsvektor der Gerade ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene ist.
15 <br>
16 Aus der Koordinatenform der Ebenengleichung kann abgelesen werden, dass der Normalenvektor der Ebene {{formula}}\vec{n}=\left(\begin{matrix}1\\1\\0\\\end{matrix}\right){{/formula}} ist. Verglichen mit dem Richtungsvektor der Geraden {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\1\\a\\\end{matrix}\right){{/formula}} fällt auf, dass die beiden Vektoren für {{formula}}a=0{{/formula}} identisch sind.
17
18 {{/detail}}
19
20 === Teilaufgabe b) ===
21 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
22 Aus {{formula}}x_2=0{{/formula}} folgt {{formula}}0=2+t{{/formula}} und damit {{formula}}t=-2{{/formula}} und {{formula}}P(-1|0|0){{/formula}}.
23 <br><p>
24 {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} liegt in der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene. Da {{formula}}S{{/formula}} senkrecht über {{formula}}Q{{/formula}} liegt, ist {{formula}}\overrightarrow{QS}{{/formula}} orthogonal zu {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}}.
25 </p>
26 {{formula}}A=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{PQ}\right|\cdot\left|\overrightarrow{QS}\right|=\frac{1}{2}\cdot\left|\left(\begin{matrix}2\\2\\0\\\end{matrix}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{matrix}0\\0\\3\\\end{matrix}\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{8}\cdot\sqrt{9}=3\sqrt{2}{{/formula}}
27 {{/detail}}
28
29
30 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
31 //Aufgabenstellung//
32 <br><p>
33 Für {{formula}}a=1,5{{/formula}} schneidet {{formula}}g{{/formula}} die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse im Punkt {{formula}}P{{/formula}} und die Ebene {{formula}}E{{/formula}} im Punkt {{formula}}S\left(1\left|2\right|3\right){{/formula}}. Zudem ist der Punkt {{formula}}Q\left(1\left|2\right|0\right){{/formula}} bekannt.
34 Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}PQS{{/formula}}.
35 </p>
36 //Lösung//
37 <br><p>
38 Da {{formula}}P{{/formula}} auf der {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse liegt, hat er die Form {{formula}}P\left(k\left|0\right|0\right){{/formula}} mit einer reellen Zahl {{formula}}k{{/formula}}. Da {{formula}}P{{/formula}} auf {{formula}}g{{/formula}} liegen soll, muss gelten:
39 </p><p>
40 {{formula}}\left(\begin{matrix}k\\0\\0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\\3\\\end{matrix}\right)+t\cdot \left(\begin{matrix}1\\1\\a\\\end{matrix}\right){{/formula}}
41 </p>
42 Aus {{formula}}x_2=0{{/formula}} folgt {{formula}}0=2+t{{/formula}} und damit {{formula}}t=-2{{/formula}}.
43 <br><p>
44 Setzt man {{formula}}t=-2{{/formula}} in die erste Zeile {{formula}}k=1+t\cdot1{{/formula}} ein, erhält man {{formula}}k=-1{{/formula}}. Damit ist {{formula}}P(-1|0| 0){{/formula}}.
45 </p>
46 Die Seite {{formula}}PQ{{/formula}} des Dreiecks liegt in der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene, denn bei beiden Punkten {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}} ist die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate Null. Da {{formula}}S{{/formula}} senkrecht über {{formula}}Q{{/formula}} liegt (die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate ist 3 anstatt 0; ansonsten sind alle Koordinaten gleich), ist {{formula}}\overrightarrow{QS}{{/formula}} orthogonal zu {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}}. Man kann folglich die Beträge von {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{QS}{{/formula}} als Länge der Grundseite beziehungsweise Länge der Höhe des Dreiecks auffassen.
47 <p>
48 Damit ergibt sich für den Flächeninhalt des Dreiecks:
49 </p>
50 {{formula}}A=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{PQ}\right|\cdot\left|\overrightarrow{QS}\right|=\frac{1}{2}\cdot\left|\left(\begin{matrix}2\\2\\0\\\end{matrix}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{matrix}0\\0\\3\\\end{matrix}\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{8}\cdot\sqrt{9}=3\sqrt{2}{{/formula}}
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54 {{/detail}}