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Lösung Lineare Algebra 1

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/12 18:37

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont (offiziell)
  1. \overrightarrow{AM}= \left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -4 \end{array}\right) = \overrightarrow{MB}; damit ist M Mittelpunkt von AB.
  2. \overrightarrow{MC}= \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right); \ \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MC}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -4 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right)=0
Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung
Weise folgende Sachverhalte nach:

  1. Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Strecke AB.
  2. Die Vektoren \overrightarrow{AM} und \overrightarrow{MC} schließen einen rechten Winkel ein.

Lösung

  1. Wenn M der Mittelpunkt der Strecke AB ist, muss der Verbindungsvektor von A nach M derselbe sein wie der Verbindungsvektor von M nach B. \overrightarrow{AM}= \left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -4 \end{array}\right) = \overrightarrow{MB}; damit ist M Mittelpunkt von AB.
  2. Wenn zwei Vektoren orthogonal sind, ist ihr Skalarprodukt Null.
    \overrightarrow{MC}= \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right); \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MC}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -4 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right)=0

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont (offiziell)

Skizze: StreckeMCSkizze.PNG

\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OM}+\frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{MC}= \left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) + \frac{2}{3}\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right)= \frac{1}{3}\cdot \left(\begin{array}{c} 11 \\ 11 \\ -11 \end{array}\right)

Damit ist P_1 \left(\frac{11}{3}\big\vert\frac{11}{3}\big\vert-\frac{11}{3} \right).

Hinweis: Alternativlösung P_2(1|9|-9).
Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung
Bestimme die Koordinaten eines Punktes, der doppelt so weit vom Punkt M entfernt ist wie vom Punkt C

Lösung

Skizze: StreckeMCSkizze.PNG

Für die Verbindungsvektoren muss gelten:

\overrightarrow{MP_1}=\frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{MC}

Und damit vom Ursprung aus:

\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OM}+\frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{MC}= \left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) + \frac{2}{3}\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right)= \frac{1}{3}\cdot \left(\begin{array}{c} 11 \\ 11 \\ -11 \end{array}\right)

Damit ist P_1 \left(\frac{11}{3}\big\vert\frac{11}{3}\big\vert-\frac{11}{3} \right).

Hinweis: Alternativlösung P_2(1|9|-9). Dieser Punkt wäre in der obigen Skizze rechts von C.