Lösung Lineare Algebra 1

1. \(\overrightarrow{AM}= \left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -4 \end{array}\right) = \overrightarrow{MB}\); damit ist \(M\) Mittelpunkt von \(AB\).
   
2. \(\overrightarrow{MC}= \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right); \ \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MC}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -4 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right)=0\)

Aufgabenstellung
Weise folgende Sachverhalte nach:

1. Der Punkt \(M\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(AB\).
2. Die Vektoren \(\overrightarrow{AM}\) und \(\overrightarrow{MC}\) schließen einen rechten Winkel ein.

Lösung

1. Wenn \(M\) der Mittelpunkt der Strecke \(AB\) ist, muss der Verbindungsvektor von \(A\) nach \(M\) derselbe sein wie der Verbindungsvektor von \(M\) nach \(B\). \(\overrightarrow{AM}= \left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -4 \end{array}\right) = \overrightarrow{MB}\); damit ist \(M\) Mittelpunkt von \(AB\).
2. Wenn zwei Vektoren orthogonal sind, ist ihr Skalarprodukt Null.
   \(\overrightarrow{MC}= \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right); \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MC}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -4 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right)=0\)

Skizze:

\(\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OM}+\frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{MC}= \left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) + \frac{2}{3}\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right)= \frac{1}{3}\cdot \left(\begin{array}{c} 11 \\ 11 \\ -11 \end{array}\right)\)

Damit ist \(P_1 \left(\frac{11}{3}\big\vert\frac{11}{3}\big\vert-\frac{11}{3} \right)\).

Aufgabenstellung
Bestimme die Koordinaten eines Punktes, der doppelt so weit vom Punkt \(M\) entfernt ist wie vom Punkt \(C\)

Skizze:

\(\overrightarrow{MP_1}=\frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{MC}\)

\(\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OM}+\frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{MC}= \left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) + \frac{2}{3}\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right)= \frac{1}{3}\cdot \left(\begin{array}{c} 11 \\ 11 \\ -11 \end{array}\right)\)

Damit ist \(P_1 \left(\frac{11}{3}\big\vert\frac{11}{3}\big\vert-\frac{11}{3} \right)\).